חידה פיזיקלית

[עריסטו]

חידה פיזיקלית

נניח שאני רוצה לבנות מכונה מסויימת. ההספק של המכונה תלוי בארבעה גורמים בלבד: מסת המכונה שטח הפנים של המכונה צפיפות האטמוספירה בסביבת המכונה תאוצת הכובד בסביבת המכונה. בניתי דגם של המכונה, הזהה בכל למכונה עצמה פרט לכך שאורכו 10 ס"מ (אורך המכונה עצמה הוא 50 ס"מ). הספק הדגם הוא 100 ואט. מה הספק המכונה עצמה? (אני מקווה שהרעיון שלי נכון והבעיה הזו פתירה...)

 

[בסג]

../images/Emo62.gif

בהנחות הבאות:

הניסוי נעשה על כדה"א.

סדר הגודל של הממדים שאינם נתונים הוא כסדר הגודל של הממד הנתון (50 ס"מ).

לכן השינוי בצפיפות האטמוספירה זניח.

צפיפות חומר המכונה לא גדול מצפיפות החומר הצפוף ביותר המוכר לנו.

לכן השינוי בתאוצת הכבידה זניח.

"זהה בכל למכונה עצמה" = בעל אותן פרופורציות.

הגדלת כל אחד מהממדים הוא פי 5.

התלות של ההספק בגורמים היא מכפלה ליניארית (משהו כמו: שטח פנים * מסה * A * B וכו') אז... מסת המכונה (M) יחסית למסת הדגם (D):

M = 5^3*D = 125*D​

שטח הפנים של המכונה (m) יחסית לשטח הפנים של הדגם (d):

m = 5^2*d = 25*d​

הצפיפות והתאוצה קבועים. ממילא... חישוב מהיר יעלה שההספק הוא:

E = 5^5 * 100 = 312500W = 312.5kW​

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif צריך לפתור בלי אף אחת מההנחות

שכתבת. כן - אפשר לפתור.

 

[בסג]

../images/Emo62.gif../images/Emo6.gif

100W?

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif זה לא נקרא שההספק תלוי

בארבעת הגורמים.

 

[בסג]

OK... אם כן, נדרש הסבר מילולי -

"בניתי דגם של המכונה, הזהה בכל למכונה עצמה פרט לכך שאורכו 10 ס"מ" מהי זהות בכל?

 

[עריסטו]

שהוא עותק מוגדל של המכונה.

 

[בסג]

../images/Emo26.gif

מוגדל בכל הממדים? או בממד אחד?

 

[עריסטו]

בכולם

 

[בסג]

אז למה קודם אמרת ש...

צריך לפתור בלי אף אחת מההנחות, כאשר זו היתה אחת מהן?

אני כבר לא יודע מה מותר להניח ומה לא. כפי שאני רואה זאת עכשיו, החידה לא פתירה.

 

[עריסטו]

זאת לא היתה הנחה + ../images/Emo58.gif

זה היה נתון בשאלה! (כלומר התכוונתי שזה יהיה נתון, רק לא ניסחתי ברור מספיק). יכול להיות שטעיתי והשאלה לא פתירה; אבל לדעתי - היא פתירה. הדרכה לפתרון: ההספק הוא פונקציה של המסה M, שטח הפנים S, הצפיפות r והתאוצה g, כלומר:

P=f(M,S,r,g)​

אבל f אינה יכולה להיות פונקציה כלשהי. למשל נוסחה כמו

M/S+r/2g​

אינה אפשרית, כי מחברים כאן שני ביטויים בעלי מימדים שונים: המימד של M הוא kg המימד של S הוא m^2 המימד של r הוא kg/m^3 המימד של g הוא m/s^2 והמספר 2 הוא חסר מימד, כלומר המימד של M/S הוא kg/m^2 והמימד של r/2g הוא kg*s^2/m^4. f חייבת להיות פונקציה שמחברים בה רק ביטויים בעלי אותו מימד, וכמו כן הערך ש-f מחזירה חייב להיות בעל מימד של הספק. דבר נוסף - ב - f לא יכול להופיע מחובר שרירותי, למשל לא ייתכן ש - f הוא הנוסחה X+Y+100w כאשר X ו - Y הם פונקציות של M,S,r,g (בעלות מימד של הספק). דבר אחרון - ההבדל בין המכונה הממשית למודל הוא שהמסה גדולה פי ... ושטח הפנים גדול פי ... . r ו - g אינם משתנים.

 

[בסג]

הבנתי את הקטע... אני מקווה.

אז צריך למצוא התאמה בין המידות. המימד של M הוא kg המימד של S הוא m^2 המימד של r הוא kg/m^3 המימד של g הוא m/s^2 וצריך לחתור ל: kg*m^2/s^3 כיוון שברכיבים המקוריים, יש רק s^2, אי אפשר להגיע למטרה, ולכן תנאי החידה בלתי אפשריים.

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif לא נכון

 

[בסג]

גם אם נחתור לאנרגיה - אי אפשר

או שפספסתי פה משהו חשוב.

 

[עריסטו]

לא יודע מה זה "נחתור לאנרגיה"

 

[בסג]

ננסה לתאם משתנים כך שיבטאו אנרגיה.

 

[עריסטו]

הספק, לא אנרגיה. למה זה בלתי אפשרי?

 

[בסג]

לגבי הספק כבר הסברתי למעלה...../images/Emo13.gif

 

[עריסטו]

אבל ההסבר לא נכון

 

[בסג]

אז...

M => kg S => m^2 r => kg/m^3 g => m/s^2 צריך להגיע ל: P = kg*m^2/s^3 ככה... sqrt(M) * S * sqrt(r) * g^(3/2) ( * SOME_CONST) נבדוק ונראה שזה אכן מתקבל sqrt(kg) * m^2 * sqrt(kg/m^3) * (m/s^2)^(3/2) = kg^0.5 * m^2 * (kg^0.5 / m^1.5) * (m^1.5 / s^3) = kg^0.5 * kg^0.5 * m^2 / m^1.5 * m^1.5 / s^3 = kg * m^2 / s^3​

אז, אפשר! (כמובן, כפי שאמרת: צריך את ההנחה של זניחות השינוי בלחץ האויר ושל זניחות השינוי בתאוצת הכבידה - שגם אותם שללת בהודעה קודמת משום מה) לפי זה, שינוי בשטח הפנים הוא ליניארי-ישר, ושינוי במסה הוא שורשי (?) ישר. לפי מה שכתבת בתשובתי הראשונה, השינוי במסה - פי 125, ובשטח הפנים - פי 25. לפיכך, השינוי בהספק: פי sqrt(125) * 25 ולפיכך, ההספק החדש הוא: 27950.8497187 וואט, בקירוב