חידה פיזיקלית.

[the YOOK]

חידה פיזיקלית.

נתון דיסק שחומם בנקודות מסויימות באקראיות. האם קיימות שתי נקודות נגדיות על ההיקף כך שהטמפרטורה בהן שווה? (עם נימוק כמובן!)

 

[עריסטו]

../images/Emo62.gif פתרון

נגדיר פונקציה f(x) - הטמפרטורה בנקודה x על ההיקף, כאשר x הוא מספר בין 0 ל - 2pi. נתבונן בפונקציה

g(x)=f(x+pi)-f(x)​

זו פונקציה רציפה, כי היא הפרש בין שתי פונקציות רציפות. אם לכל x הפונקציה g(x) שווה לאפס הבעיה טריוויאלית. אחרת קיים x כך ש - g(x) גדול (קטן) מאפס, ואז g(x+pi) קטן (גדול) מאפס. לכן קיים x כך ש - g(x) שווה לאפס. מ.ש.ל.

 

[the YOOK]

../images/Emo127.gif נכון!

משפט ערך הביניים... מעניין שמי שלא למד חדו"א לא יודע איך לגשת לבעיה...

 

[עריסטו]

אגב, החידה שלך היא מקרה פרטי

של משפט Borsuk-Ulam. החידה שלך היא במקרה חד-ממדי; דוגמה למקרה הדו-ממדי - יש שתי נקודות נגדיות על כדור הארץ שיש בהן אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר. כללית, אם על פני על-כדור n-ממדי מגדירים n-1 פונקציות רציפות, אזי יש שתי נקודות נגדיות בהן לכל הפונקציות יש אותו ערך. עוד דוגמה מעניינת למשפט - בכל מערכת קואורדינטות שנשתמש בה על פני כדור הארץ, כאשר לכל נקודה יש שתי קואורדינטות, וכמובן אין שתי נקודות שונות בעלות אותן קואורדינטות, תהיה בהכרח נקודה בה אחת הקואורדינטות לא רציפה. זאת משום שאם שתי הקואורדינטות היו משתנות ברציפות כאשר נעים על פני כדור הארץ, לפי המשפט היו בכדור הארץ שתי נקודות נגדיות בעלות אותן קואורדינטות, אבל במערכת קואורדינטות שימושית אין שתי נקודות שונות בעלות אותן קואורדינטות. במערכת הקואורדינטות הרגילה (קוי אורך ורוחב) נקודות אי-הרציפות הן בקטבים: כאשר עוברים בקוטב קו האורך משתנה בפתאומיות.

 

[the YOOK]

נחמד...

 

[Assi71]

תסביר

מה הכוונה מחומם בנק' אקראיות - האם הן נקודות דיסקרטיות? האם הן בכל הדיסק או רק בהיקף? האם פילוג הטמפ' המתקבל הוא פתרון של משוואת מעבר חום?

 

[the YOOK]

בוא נגיד בלי נקודות סינגולריות של

חום, ומותר להניח כי הטמפרטורה מתפלגת באופן אחיד. אגב אריסטו כבר פתר את הבעיה...

 

[חול טבעוני]

משהו מצחיק

מרוב שאני כאן בפורום ממש משונה לי לקרוא את השם אריסטו מאויית עם א'...

 

[עריסטו]

רק שלנו לא יהיה משונה

לקרוא "חול טובעני"