עופר לילה שלם היה לך ...@שוט
"ס" אומר ל"-מ" :"אינני רואה דרך שבה תצליחי לגלות את הסכום שנמסר לי," וכעבור זמן מה היא אומרת לו" :אני יודעת מה הסכום שנמסר לך." האם נובע מכך ש"-ס" טעה, או לקה בקוצר ראות? לא. בעת ש"-ס" הגיע למסקנתו, היא היתה נכונה לחלוטין, אולם ברגע שהודיע את מסקנתו ל"-מ" השתנה המצב, משום שמסקנה זו הכילה מידע רב ערך עבור" מ," ורק בעקבות קבלת מידע זה נוצרה ל"-מ" היכולת לגלות את הסכום. כיוון שידוע שנבחרו שני מספרים בתחום2 עד,62 הרי הסכומים האפשריים הם בתחום4 עד,124 כלומר יש121 סכומים אפשריים. נראה כיצד מצמצמת" מ" בהדרגה את רשימת הסכומים האפשריים, על-פי המידע שמסר לה" ס." לאחר ש"-ס" אמר" :אינני רואה דרך שבה תצליחי לגלות את הסכום שנמסר לי," הבינה" מ" שהסכום אינו ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים. מסקנה זו נובעת מהדוגמה הבאה, המנתחת את חשיבתו של" ס" במקרה שהסכום הוא :14 ייתכן שהסכום14 נובע מכך שהמספרים שנבחרו הם3 ו,11- ולכן מכפלתם היא.33 אם מכפלה זו נמסרה ל"-מ," היא תזהה מיד את המספרים שנבחרו, משום שזה הפירוק האפשרי היחיד של33 לשני גורמים) הפירוק האחר1 , ו,33- נשלל משום שידוע שהמספרים שנבחרו גדולים מ.(1- מאמירתו של" ס" ברור, אם כן, שהסכום שנמסר לו אינו" .14 השערת גולדבך," האומרת שכל מספר זוגי גדול מ2- ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים, לא זכתה להוכחה אך היא נבדקה ונמצאה נכונה לתחום רחב של מספרים, וברור שהיא נכונה לתחום שבו אנו עוסקים, שבו הסכום הגדול ביותר הוא.124 לפיכך הניתוח ששלל את האפשרות שהסכום הוא14 נכון לכל סכום זוגי. 2 הוא מספר ראשוני, ולכן נשלל מאותה סיבה גם כל סכום אי-זוגי שניתן להציגו כמספר ראשוני פלוס.2 לאחר סינון כל הסכומים שנשללו, נותרו כאפשריים רק31 הסכומים הבאים, שכל אחד מהם שווה ל2- פלוס מספר אי-זוגי שאינו ראשוני: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101, 107, 113, 117, 119, 121, 123. "מ" יודעת, כמובן, מה המכפלה שנמסרה לה. כעת עליה לפרק מכפלה זו לשני גורמים בכל הדרכים האפשריות, ולבדוק האם הסכום של שני גורמים אלה נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. אם המכפלה היא,24 למשל, תדע" מ" שהסכום הוא,11 משום שהמספרים3 ו8- הם הפירוק היחיד של24 שסכומו נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. הפירוק האחר2 , ו,12- נותן את הסכום,14 שאינו ברשימת הסכומים האפשריים. צמצום רשימת הסכומים האפשריים ל31- סכומים בלבד) רבע מגודלה ההתחלתי של הרשימה( איפשר ל"-מ" למצוא את הסכום) וגם את שני המספרים היוצרים אותו( על-פי המכפלה שנמסרה לה. כעת עלינו לברר כיצד מצא" ס" את המספרים שנבחרו. "ס" יודע, כמובן, מה הסכום שנמסר לו. כעת עליו למצוא את המכפלה המתאימה לסכום זה, תוך הסתייעות בעובדה ש"-מ" הצליחה לגלות את סכום המספרים שנבחרו. האם הסכום יכול להיות?11 לא. אם המכפלה היא,24 יודעת" מ" שהסכום הוא ,11 משום שהמספרים3 ו8- הם הפירוק היחיד של24 שסכומו נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. גם כאשר המכפלה היא28 יודעת" מ" שהסכום הוא,11 משום שהמספרים4 ו7- הם הפירוק היחיד של28 שסכומו נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. לסכום11 מתאימות אם כן שתי מכפלות אפשריות, ולכן במקרה זה לא יוכל" ס" לאמר בסופו של דבר" כעת אני יודע מה המכפלה שנמסרה לך." לפיכך הסכום אינו.11 באופן דומה הסכום אינו יכול להיות,23 אותו ניתן להציג כסכום7+16 וגם כסכום.4+19 כך נשללים כל שאר המספרים שברשימת הסכומים האפשריים, החל ב25- וכלה ב,123- אותו ניתן להציג כסכום59+64 וגם כסכום.16+107 הסכום היחיד שלא נשלל הוא.17 בניתוח האפשרויות להציג מספר זה כסכום של שני מספרים, נתחשב בכך שכיוון ש"-מ" מצאה את הסכום בהתאם למכפלה שבידה, ברור שלא נמסרה לה מכפלה שאותה אפשר לפרק לגורמים בשתי צורות שכל אחת מהן יוצרת סכום הנמצא ברשימת הסכומים האפשריים. את המספר17 ניתן להציג כסכום של שני מספרים בשבע דרכים שונות: :2+15 המכפלה של שני מספרים אלה היא,30 אותה יכלה" מ" לפרק גם כ,65- מספרים שסכומם,11 , נמצא ברשימת הסכומים האפשריים, ולכן במצב זה לא היתה" מ" יכולה לדעת האם הסכום הוא17 או.11 העובדה ש"-מ" ידעה את הסכום שוללת אפשרות זו. :3+14 המכפלה של שני מספרים אלה היא,42 אותה יכלה" מ" לפרק גם כ,221- מספרים שסכומם,23 , נמצא ברשימת הסכומים האפשריים, ולכן במצב זה לא היתה" מ" יכולה לדעת האם הסכום הוא17 או.23 העובדה ש"-מ" ידעה את הסכום שוללת אפשרות זו. :5+12 המכפלה של שני מספרים אלה היא,60 אותה יכלה" מ" לפרק גם כ,320- מספרים שסכומם,23 , נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. :6+11 המכפלה של שני מספרים אלה היא,66 אותה יכלה" מ" לפרק גם כ,233- מספרים שסכומם,35 , נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. :7+10 המכפלה של שני מספרים אלה היא,70 אותה יכלה" מ" לפרק גם כ,235- מספרים שסכומם,37 , נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. :8+9 המכפלה של שני מספרים אלה היא,72 אותה יכלה" מ" לפרק גם כ,324- מספרים שסכומם,27 , נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. הסכום היחיד שעוד נותר הוא.4+13 המכפלה של שני מספרים אלה היא,52 והפירוק הנוסף של מכפלה זו הוא,262 מספרים שסכומם,28 , אינו נמצא ברשימת הסכומים האפשריים. המספרים שנבחרו הם, אם כן4 , ו.13- הפתרון אליו הגענו תקף גם כשהקצה העליון של התחום שבו נבחרו המספרים אינו 62 אלא כל מספר אחר שבין63 ל.2500- בדיקה של תחומים גדולים מהתחום[2,62] הולכת ונעשית מייגעת, ולכן נוח לעשותה באמצעות תוכנית מחשב) ראו?????? <http://einstein.et.tudelft.nl/~arlet/puzzles/sol.cgi/logic/number> בשפתC למטרה זו.( אם ננסה תחום שהקצה העליון שלו קטן מ62- נקבל חידה שאין לה פתרון.
