חידה מתמטית
- פותח הנושא JDOE
- פורסם בתאריך
הידרה הלרניאנית
New member
אז מה הפתרון להצפנה...?
jgivje mee ztteouar qeen
jgivje mee ztteouar qeen
טלמון סילבר
New member
לצערי, אינני רואה את הקובץ עם
הפתרון - הסימנים נראים לי קטנים מאוד, וחלקם מטושטשים. תוכל להעתיק ולהציג אותו ישירות? את ההתחלה אני רואה כך:
הפתרון - הסימנים נראים לי קטנים מאוד, וחלקם מטושטשים. תוכל להעתיק ולהציג אותו ישירות? את ההתחלה אני רואה כך:
x^3 + y^4 =< x^2 + y^3 y = kx x^3 + (k^4)(x^4) =< x^2 + (k^3)(x^3) <לא ברור> ) x^3 + (k^3)(x^3) =< x^2 + 2(k^3)(x^3) - (k^4)(x^4)
וכו'.הפתרון שלי
מקווה שהוא נכון.. הוכחתי (או ניסיתי לפחות) בדרך קצת שונה (אגב, התעלמו מה-z-ים בהוכחה).. נסתכל על הנתון: x^3 + y^4 =< x^2 + y^3 נרשום אותו בצורה: x^3 - x^2 <= y^3 - y^4 z x^3 - (x^3)^(2/3) <= y^3 - (y^3)^(4/3) z (נתון ש-x ו-y אי-שליליים) נסמן: x^3=a, y^3=b צ"ל: x^3 + y^3 <= 2 -> a + b <= 2 נסתכל על הפונקציות: z f(a)=a-a^(2/3) z (מתוארת בתרשים בסגול) z g(b)=b-b^(4/3) z (מתוארת בתרשים בלבן). משורטטות בתרשים המצורף, לנוחיות. נחפש את הערך המקסימלי של z g(b) z (לפי נגזרת), ונקבל שהוא בנקודה (27/256 ,27/64), כלומר a-a^(2/3) <= 27/256, כלומר a <= 1.292 (בערך, כמובן). נחפש את הערך המינימלי של z f(a) z (לפי נגזרת), ונקבל שהוא בנקודה (4/27- ,8/27), כלומר b-b^(4/3) >= -4/27, כלומר b <= 1.363 (בערך, גם כאן). נחפש a ו-b שסותרים את השוויון שצריך להוכיח. מהסתכלות על הגרפים, קל לראות שעבור z 1 >= a >= 0 z וגם z 1 >= b >= 0 z, אי השוויון הנתון אכן מתקיים (z g(b) >= f(a) z בתחומים הנ"ל), אך המקרים הללו לא מעניינים אותנו, מכיוון שכשאר a ו-b בתחומים הנ"ל, סכומם בוודאות קטן או שווה ל-2. נבדוק, כעת, עבור z 1.292 >= a > 1 z. אפשר לראות ש-b בוודאות קטן מ-1, על סמך הגרף. אפשר היה לחשוב שעבור b=0.801 ו-a=1.2 לדוגמא, מתקיים התנאי הנתון, וכמו כן מתקבלת סתירה למה שצריך להוכיח. אולם, אפשר להראות שלא כך הדבר. אם נסתכל על z f(a) z בתחום z 1.292 >= a > 1 z ועל z g(b) z בתחום z 0.768 <= b < 1 z (התחום הזה, כדי שנוכל לסתור את מה שצריך להוכיח), נראה ש-z f(a) z תלולה יותר מ-z g(b) z. במילים פשוטות, אם נתקרב 2 "צעדים" ימינה על ציר ה-x עם ה-a, נצטרך להתקרב מספר הגדול מ-2 (נניח 3) "צעדים" שמאלה על ציר ה-x עם ה-b, על מנת שאי השוויון הנתון יתקיים (גם את זה ניתן לראות בקלות, אם נסתכל על הגרפים של הפונקציות), ואז a+b יהיה אף קטן יותר. ניתן להוכיח זאת, על פי הנגזרות של שתי הפונקציות. z f'(a)=1-(2/3)*a^(-1/3) z (מתוארת בתרשים בכחול בהיר), ו- z g'(b)=1-(4/3)*b^(1/3) z. כדי להימנע מבעיות של השוואת שלילי מול חיובי, נסתכל על הערך המוחלט של הנגזרת z g'(b) z (מתוארת בתרשים בכחול כהה). אם נסתכל על הנגזרות בתחומים הנ"ל, נראה ש- z f'(a) > |g'(b)| z, כלומר באמת העלייה של z f(a) z "חדה" יותר מאשר הירידה של z g(b) z. באותו אופן, ניתן להסתכל על z g(b) z בתחום z 1 < b <= 1.363 z ועל z f(a) z בתחום z 0.637 <= a < 1 z, ולראות שלא נוכל למצוא a ו-b שסכומם גדול מ-2 (ניתן לראות זאת גם כאן, אם בודקים את z f'(a) z ו-z |g'(b)| z בתחומים הנ"ל, מגלים ש-z |g'(b)| > f'(a) z). קיבלנו שאין a ו-b שסותרים את הטענה a+b > 2, ולכן a+b <= 2. יצא ארוך, אני יודע.. ומקווה שזה בכלל נכון.. פשוט החידה הזאת כל כך הרגיזה אותי, שהייתי חייב לרשום את זה..
מקווה שהוא נכון.. הוכחתי (או ניסיתי לפחות) בדרך קצת שונה (אגב, התעלמו מה-z-ים בהוכחה).. נסתכל על הנתון: x^3 + y^4 =< x^2 + y^3 נרשום אותו בצורה: x^3 - x^2 <= y^3 - y^4 z x^3 - (x^3)^(2/3) <= y^3 - (y^3)^(4/3) z (נתון ש-x ו-y אי-שליליים) נסמן: x^3=a, y^3=b צ"ל: x^3 + y^3 <= 2 -> a + b <= 2 נסתכל על הפונקציות: z f(a)=a-a^(2/3) z (מתוארת בתרשים בסגול) z g(b)=b-b^(4/3) z (מתוארת בתרשים בלבן). משורטטות בתרשים המצורף, לנוחיות. נחפש את הערך המקסימלי של z g(b) z (לפי נגזרת), ונקבל שהוא בנקודה (27/256 ,27/64), כלומר a-a^(2/3) <= 27/256, כלומר a <= 1.292 (בערך, כמובן). נחפש את הערך המינימלי של z f(a) z (לפי נגזרת), ונקבל שהוא בנקודה (4/27- ,8/27), כלומר b-b^(4/3) >= -4/27, כלומר b <= 1.363 (בערך, גם כאן). נחפש a ו-b שסותרים את השוויון שצריך להוכיח. מהסתכלות על הגרפים, קל לראות שעבור z 1 >= a >= 0 z וגם z 1 >= b >= 0 z, אי השוויון הנתון אכן מתקיים (z g(b) >= f(a) z בתחומים הנ"ל), אך המקרים הללו לא מעניינים אותנו, מכיוון שכשאר a ו-b בתחומים הנ"ל, סכומם בוודאות קטן או שווה ל-2. נבדוק, כעת, עבור z 1.292 >= a > 1 z. אפשר לראות ש-b בוודאות קטן מ-1, על סמך הגרף. אפשר היה לחשוב שעבור b=0.801 ו-a=1.2 לדוגמא, מתקיים התנאי הנתון, וכמו כן מתקבלת סתירה למה שצריך להוכיח. אולם, אפשר להראות שלא כך הדבר. אם נסתכל על z f(a) z בתחום z 1.292 >= a > 1 z ועל z g(b) z בתחום z 0.768 <= b < 1 z (התחום הזה, כדי שנוכל לסתור את מה שצריך להוכיח), נראה ש-z f(a) z תלולה יותר מ-z g(b) z. במילים פשוטות, אם נתקרב 2 "צעדים" ימינה על ציר ה-x עם ה-a, נצטרך להתקרב מספר הגדול מ-2 (נניח 3) "צעדים" שמאלה על ציר ה-x עם ה-b, על מנת שאי השוויון הנתון יתקיים (גם את זה ניתן לראות בקלות, אם נסתכל על הגרפים של הפונקציות), ואז a+b יהיה אף קטן יותר. ניתן להוכיח זאת, על פי הנגזרות של שתי הפונקציות. z f'(a)=1-(2/3)*a^(-1/3) z (מתוארת בתרשים בכחול בהיר), ו- z g'(b)=1-(4/3)*b^(1/3) z. כדי להימנע מבעיות של השוואת שלילי מול חיובי, נסתכל על הערך המוחלט של הנגזרת z g'(b) z (מתוארת בתרשים בכחול כהה). אם נסתכל על הנגזרות בתחומים הנ"ל, נראה ש- z f'(a) > |g'(b)| z, כלומר באמת העלייה של z f(a) z "חדה" יותר מאשר הירידה של z g(b) z. באותו אופן, ניתן להסתכל על z g(b) z בתחום z 1 < b <= 1.363 z ועל z f(a) z בתחום z 0.637 <= a < 1 z, ולראות שלא נוכל למצוא a ו-b שסכומם גדול מ-2 (ניתן לראות זאת גם כאן, אם בודקים את z f'(a) z ו-z |g'(b)| z בתחומים הנ"ל, מגלים ש-z |g'(b)| > f'(a) z). קיבלנו שאין a ו-b שסותרים את הטענה a+b > 2, ולכן a+b <= 2. יצא ארוך, אני יודע.. ומקווה שזה בכלל נכון.. פשוט החידה הזאת כל כך הרגיזה אותי, שהייתי חייב לרשום את זה..
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.