חידה מתמטית שלי

[עריסטו]

חידה מתמטית שלי

אני מקווה שלא טעיתי והטענה שאני טוען נכונה... הוכיחו: אם P(a,b) zzz הוא פולינום בעל מקדמים שלמים, אזי בכל פתרון של המשוואה a^2=bP(a,b) zzz במספרים טבעיים a,b היחס a/b הוא מספר שלם. אם זה לא נכון תנו דוגמה...

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo35.gif

דוגמה נגדית:

a=6 b=18 P(x,y)=x+y-22​

 

[עריסטו]

ניסיון לתקן ../images/Emo67.gif

אני מוסיף תנאי - a>b.

 

[ןן גיל ןן]

לא עבד..

a=10 b=4 P(x,y)=x+y+11​

 

[עריסטו]

עוד הגבלה ../images/Emo67.gif../images/Emo67.gif

תיקנתי אבל עכשיו זה כבר נהיה ממש טריוויאלי... אני כותב את הטענה מחדש - אם למשוואה a^2-vab+ub^2=0, כאשר u ו-v שלמים, יש פתרון במספרים טבעיים a ו-b, כאשר a>b, אזי היחס a/b שלם. זה טריוויאלי - נחלק את שני האגפים ב - b^2: zzz (a/b)^2-v(a/b)+u=0 zzz ועכשיו יש משוואה עם נעלם a/b ואפשר להשתמש בכלל לגבי שורשים של פולינום עם מקדמים שלמים... זה לא שווה כלום

 

[ןן גיל ןן]

מקבלים עובדה מעניינת

אם a,b,k מספרים שלמים ו- a^2+kab+b^2=0 אז בהכרח a=±b ו- k=±2. כמו כן אם a^3+ka^2b+mab^2+b^3=0 אז a=±b, וכו'.