חידה מתמטית שלי

[עריסטו]

חידה מתמטית שלי

מיצאו את כל הפתרונות במספרים ממשיים של מערכת המשוואות הבאה:

 

[1אברהם]

ניסיון

כדי ש2 המשוואות תתקימנה צריך להתקים x1=-y1 , x2=-y2 ו\או x1=-z1, z2=-z2 ו\או y1=-z1, y2=-z2 וגם אף זוג x1 x2 , y1 y2, z1 z2 לא שווה ל 0 אחרת יהיה לנו מצב של 0/0 באגף שמאל

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif הוכחה ../images/Emo35.gif

 

[1אברהם]

אני הגעתי לזה ככה

הכפלתי את המשוואה השניה ב i ( שרש של 1- ) , חיברתי את המשוואות ( אפשר גם לחסר ) ואז אחרי צמצום מקבלים

1/Sx +1/Sy +1/Sz= 1/(Sx+Sy+Sz) כאשר Sx=x1+i*x2 Sy=y1+i*y2 Sz=z1+i*z2​

Sx Sy Sz הם מספרים מרוכבים שרכיביהם x1 x2 y1 y2 z1 z2 כולם ממשים מחשבים את Sx למשל כפונקציה של Sy Sz ומקבלים משוואה ריבועית עם נעלם Sx והפתרונות הם Sx=-Sy או Sx=-Sz , אם היינו לוקחים כנעלם את Sy היינו מקבלים Sy=-Sz Sy=-Sx . והמשמעות של Sx=-Sy זה x1=-y1 x2=-y2

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif הדרך שלי דומה

מתחילה כמו הדרך שלך, ונמשכת כך: אחרי שמקבלים את זה

1/Sx +1/Sy +1/Sz-1/(Sx+Sy+Sz)=0​

מכפילים במכנה המשותף, ואז הפירוק לגורמים של הביטוי שמתקבל נותן

(Sx+Sy)(Sx+Sz)(Sy+Sz)=0​

 

[Renatius Cartesius]

שאלה...

עריסטו זו באמת חידה יפה! אברהם... כל הכבוד על הפתרון! רק דבר אחד... אם חיברת את המשוואות אז... אחרי הצמצום זה לא אמור להראות כך? Sx=x1-i*x2 Sy=y1-i*y2 Sz=z1-i*z2

 

[1אברהם]

נכון

אם מחברים את המשוואות אז אחרי צימצום נקבל Sx=x1-ix2 ואם נחסיר אז נקבל Sx=x1+ix2 וכנ"ל ל Sy Sz

 

[עריסטו]

הערה

למעשה אין צורך לפתור ממש משוואה ריבועית: כאשר כותבים משוואה ריבועית עם נעלם Sx, מקבלים שהמקדם של החזקה הגבוהה הוא 0 אם Sy=-Sz, כלומר זה מקרה שצריך לבדוק בנפרד. בודקים ומקבלים שזה אכן פתרון; ואם Sy שונה מ - Sz-, זו משוואה ריבועית עם נעלם Sx, ויש לה לכל היותר שני פתרונות. מכיוון שברור מהמשוואה המקורית ש - Sx=-Sy, Sx=-Sz הם פתרונות - אלו כל הפתרונות.

 

[1אברהם]

מה שקיבלתי הוא

משואאה ריבועית כזו בנעלם Sx

((Sy+Sz)/Sy*Sz) * (Sx)² + ((Sy+Sz)²/Sy*Sz) * (Sx) + (Sy+Sz) = 0 כלומר מקדמי המשוואה הריבועית a*Sx² + b*Sx + c = 0 הם a=((Sy+Sz)/Sy*Sz) b=((Sy+Sz)²/Sy*Sz) c= (Sy+Sz)​

אם Sy=-Sz אז כל המקדמים מתאפסים ( לא רק מקדם החזקה הגבוהה ). עוד דבר מענין שאם משחקים עם המשוואה (פותחים סוגריים מכפילים ב Sy*Sz ...) ניתן להפוך את המשוואה שתיראה כמישוואה ריבועית זהה אבל בנעלם Sy או Sz , כאלו ש Sy או Sz מחליפים מקומות עם Sx במשוואה הריבועית המקורית.

 

[עריסטו]

נכון, לא התכוונתי לומר

שרק מקדם החזקה הגבוהה מתאפס, אלא שמקבלים משוואה מהצורה zzz ax^2+bx+c=0 zzz, וכשבאים לפתור משוואה כזו יש להבחין בין שני מקרים - a שונה מאפס (שאז יש שני פתרונות) ו - a שווה אפס, שזה מקרה שיש לבדוק בנפרד.