חידה מתמטית - שאלה

[laufgas]

חידה מתמטית - שאלה

זאת לא בדיוק חידה אלא יותר שאלה שאני חד לעצמי ולא יודע את התשובה. אין לי מושג מה התשובה. תסתכלו רגע בתמונה המצורפת והנה החידה: נתון: שני הישרים אינם מקבילים. נתון: המרחק ההתחלתי בינהם: 2 ס"מ. עוד נתון: המרח קטן בחצי כל יחידת זמן שהקווים נעים קדימה (משמאל לימין). השאלה שלי היא כזו: מכיוון שאלה לא קווים מקבילים הם אמורים להתנגש אחד עם השני מתישהו - אבל כאן נכנסת הבעיה: אם כל הזמן המרחק קטן בחצי ויש אינסוף מספרים אז כל הזמן המרחק יתכווץ אבל לעולם לא יתאפס. המרחק ההתחלתי הוא 2. לאחר מכן 1, לאחר מכן 0.5, לאחר מכן 0.25, לאחר מכן 0.125 וכו'. אז איך ניתן להוכיח שהקווים יתנגשו בסופו של דבר?

 

[srulikbd]

נחמד

בעצם הוכחת את זה! הגעת לסתירה... אם בא לך הוכחה יותר פורמלית אתה עושה 2 פונקציות ממעלה ראשונה ואז אתה צריך להראות שרק כשהקווים מקבילים יכול להיות יחס קבוע בין ההפרשים שלהם...לא בעיה

 

[laufgas]

אבל איך הוכחתי את זה?

המרחק בינהם בחיים לא יגיע ל-0.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif כבר הקדים אותך יווני אחד.

בטח שהמרחק לא יגיע! בשביל מה הוא צריך את זה? טוב לו גם ככה.

 

[טלמון סילבר]

למעשה, החידה שלך עוד יותר קלה

מהחידות של זנון. אתה לוקח נקודה אחת על ישר אחד, נניח, הקצה שלו ברגע מסוים, ונקודה נוספת על הישר השני, והמרחק ביניהן שווה 2, וכל יחידת זמן קטן פי 2, ובאופן זה לעולם לא יגיעו הנקודות עד נקודת המפגש של שני הישרים. טוב, אז לא יגיעו. אולי הן גם לא רוצות להיפגש, ולכן הן זזות כל כך לאט, כדי שלא להיפגש?

 

[inbal76]

הסבר

בתנאים המדויקים שכתבת, לא קיימים שני ישרים כאלה. שני קווים ישרים תמיד יתקרבו זה לזה בקצב קבוע, כלומר כל יחידת זמן קבועה, המרחק ביניהם קטן ב-A קבוע כלשהו. אם כל יחידת זמן המרחק קטן בחצי משהיה, אז לפחות אחד מהקווים אינו ישר.

 

[טלמון סילבר]

מה זאת אומרת

"שני קווים ישרים תמיד יתקרבו זה לזה בקצב קבוע"? אני הבנתי שמדובר בקרניים, שהקצוות שלהן זזים במהירויות שמחליט המשורר. לישרים אינסופיים לשני הכיוונים אין צורך ללכת לשום מקום לאורך עצמן, כי אף אחד ממילא לא ירגיש בזה

 

[inbal76]

אני הבנתי אחרת...

כנראה שאתה הבנת כמו שהוא התכוון. במקרה כזה הם באמת פשוט לא יפגשו.

 

[laufgas]

אני אגיד לכם מה ההגיון שלי אומר

ההגיון שלי אומר שפשוט הקווים הללו לא יפגשו לעולם. הם אמנם ישאפו להגיע אחד אל השני אבל לא יצליחו. ממש כמו אסימפטוטות על שרטוט פונקציה.

 

[טלמון סילבר]

בסדר, אין בעייה,

אתה רשאי לקרב אותם גם עוד יותר לאט, כך שהמרחק ביניהם אפילו לא ישאף ל-0. נניח המרחק ההתחלתי ביניהם שווה 2, ביחידת הזמן הראשונה הם יתקרבו ב- 1/2, ביחידת הזמן השנייה ב- 1/4 נוסף, אח"כ ב- 1/8, אח"כ ב- 1/16 וכן הלאה עד אינסוף, והמרחק ביניהם לעולם יישאר גדול מ-1 (אבל ישאף ל-1). אתה יכול גם לעצור אותם לחלוטין, שיעמדו איפה שהם עומדים, ויותר לא יתקרבו בכלל.

 

[srulikbd]

התכוונתי להגיד

הוכחת שלא יכול להיות שהמרחק בינהם יגדל פי קבוע כלשהו ביחידת זמן כלשהו(כלומר הx עולד בk כלשהו כל הזמן) יכול להיות רק כשהם מקבילים(כלומר אין נקודת מפגש) וk=1. הוכחת את זה-הגעת לסתירה.

 

[srulikbd]

סליחה k לא חייב להיות 1, התכוונתי

שהמרחק ביניהם גדל פי 1

 

[Fingertip]

../images/Emo62.gifואני חושב...

אני חושב שפשוט התבלבלת. אתה יודע שכל הזמן המרחק קטן בחצי. זה אומר שעל כל יחידת מרחק שתתקדם לאורך הישר, הגובה ישתנה בחצי של אחד, ולא בחצי מהמרחק שהיה שם קודם. לכן אם המרחק ההתחלתי היה d, אחרי 2d מספרים לכל היותר הם יחתכו. כמו שקודמי העירו, אין שני ישרים שעל כל צעד באורך אחד יקצרו פי 2 את המרחק ביניהם... אהד.