חידה מתמטית קלילה

[wow1234 תפוז]

חידה מתמטית קלילה

מצא את כל המספרים השלמים x, y כך ש 21x+20y+12xy=18

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo62.gif כמעט בטוח...

שאין אף פתרון.

 

[עריסטו]

פתרון

21x+20y+12xy=18 20y+12xy=18-21x y(20+12x)=18-21x y=(-21x+18)/(12x+20)=-7/4+53/(12x+20) 4y=-7+53/(3x+5)​

הביטוי האחרון צריך להיות מספר שלם (כי y שלם), כלומר 53 מתחלק ב - 3x+5, זאת אומרת ש - 3x+5 הוא אחד המספרים 1, 53, 1-, 53-. בודקים ומקבלים שרק הערך 1- נותן ערכים שלמים ל - x ול-y, והם:

x=-2 y=-15​

 

[גיל14]

יפה

 

[גיל14]

../images/Emo58.gif בטוח לגמרי...

שאין פתרון... ונימוק:

y(20+12x) = 18-21x y = -3(7-6x)/[4(5+3x)]​

כלומר 7-6x צריך להתחלק ב4. אבל זה לא יתכן, כי:

7-6x | 4 7-6x = 0 (mod 4) 6x = 7 (mod 4) 2x = 3 (mod 4)​

ולמשוואה הזו אין פתרון.

 

[גיל14]

חידה: מה לא נכון ב"פתרון" שלי? ../images/Emo8.gif

 

[אלמוני היחידה]

פשוט טעות חישוב

החלפת בין ה-6 ל 7 המונה

.

 

[גיל14]

../images/Emo127.gif

 

[גיל14]

פתרון נוסף

y = -3 (7x-6)/[4(3x+5)]​

כעת, 7x-6 מחלק את 4. לכן נקבל:

7x-6 = 0 (mod 4) 3x = 2 (mod 4) x = 2 (mod 4) x = 4k+2, for some integer k​

עתה, צריך גם להתקיים ש7x-6 מתחלק ב 3x+5, ולכן

7x-6 = (3x+5) * t 28k + 8 = (12k+11) t הגורם הימני במכפלה באגף שמאל אינו מתחלק ב4, והימני כן, ולכן t מתחלק ב4. נצמצם ב4 ונציב p=t/4 ונקבל

7k+2 = (12k+11) p 12k+11 | 7k+2 הביטויים שווי סימן, ולכן נפריד למקרים: אם הם חיוביים, אזי

12k+11 < 7k+2 5k < -9 k≤-2​

ולכן הם שליליים. אם הם שליליים,

12k+11 > 7k+2 5k > -9 k ≥-1​

עתה, כדי שהביטויים יהיו שליליים, צריך שיתקיים 7k+2<0 כלומר k≤-1, ולכן יתכן פתרון כשk=-1 ולא יתכן אף פתרון אחר. כאשר k=-1, נקבל x=-2, נציב בy ונמצא ש y=-15. היתרון על הפתרון של עריסטו: לא צריך לבדוק למקרה בו x=16...! אני מפחד מלבדוק מספרים דו-ספרתיים!...​

 

[גיל14]

לאן הלכו ה|סקוד|ים שלי?

y = -3 (7x-6)/[4(3x+5)]​

כעת, 7x-6 מחלק את 4. לכן נקבל:

7x-6 = 0 (mod 4) 3x = 2 (mod 4) x = 2 (mod 4) x = 4k+2, for some integer k​

עתה, צריך גם להתקיים ש7x-6 מתחלק ב 3x+5, ולכן

7x-6 = (3x+5) * t 28k + 8 = (12k+11) t​

הגורם הימני במכפלה באגף שמאל אינו מתחלק ב4, והימני כן, ולכן t מתחלק ב4. נצמצם ב4 ונציב p=t/4 ונקבל

7k+2 = (12k+11) p 12k+11 | 7k+2​

הביטויים שווי סימן, ולכן נפריד למקרים: אם הם חיוביים, אזי

12k+11 < 7k+2 5k < -9 k≤-2​

ולכן הם שליליים. אם הם שליליים,

12k+11 > 7k+2 5k > -9 k ≥-1​

עתה, כדי שהביטויים יהיו שליליים, צריך שיתקיים 7k+2<0 כלומר k≤-1, ולכן יתכן פתרון כשk=-1 ולא יתכן אף פתרון אחר. כאשר k=-1, נקבל x=-2, נציב בy ונמצא ש y=-15. היתרון על הפתרון של עריסטו: לא צריך לבדוק למקרה בו x=16...! אני מפחד מלבדוק מספרים דו-ספרתיים!...

 

[גיל14]

צ"ל "הגורם השמאלי במכפלה באגף ימין"

 

[srulikbd]

פתרון

על פי העקרון ש z xy+x+y+1=(x+1)(y+1) z...

 

[עריסטו]

ימשיך כבודו

איך העקרון הזה עוזר לך כאן?

 

[srulikbd]

ככה

z (3x+5)(4y+7)=53 z

 

[srulikbd]

שזה בעצם מה שעשית..

 

[עריסטו]

נחמד ../images/Emo13.gif

 

[Renatius Cartesius]

יפה...