חידה מתמטית קלה

[עריסטו]

חידה מתמטית קלה

הוכיחו: קיימים מיליון מספרים טבעיים עוקבים המכילים בדיוק מאה מספרים ראשוניים.

 

[Renatius Cartesius]

יש צורך להשתמש ...

במשפט דירכלה?

 

[עריסטו]

לא

 

[טלמון סילבר]

מה זה "משפט דיריכלה"?

 

[עריסטו]

משפט דיריכלה

אם a ו- b הם מספרים טבעיים זרים אזי הסידרה

a, a+b, a+2b, a+3b, ...​

מכילה אינסוף מספרים ראשוניים.

 

[טלמון סילבר]

תודה, ושאלה נוספת -

האם יש שימוש במשפט האומר שעבור כל מספר שלם n הגדול מ-1, קיים מספר ראשוני בין n לבין 2n? ואיך נקרא המשפט הזה?

 

[עריסטו]

אין שימוש במשפט הזה

הוא נקרא Bertrand's postulate.

 

[טלמון סילבר]

תודה

מדוע הוא נקרא "פסטולט"? הרי יש לו הוכחה.

 

[Renatius Cartesius]

סלח לי שלא עניתי לך...

 

[ייץ]

רמז

לא קשה להוכיח שקיימים 1000000 מספרים עוקבים שאף אחד מהם אינו ראשוני. (אם יש צורך אני אוכיח זאת). מכאן כבר לא קשה להוכיח את הנדרש.

 

[ןן גיל ןן]

ורמז נוסף

"משפט ערך הביניים" במספרים טבעיים: אם f היא פונקציה מהטבעיים לטבעיים, איזה תנאי אפשר לתת על f כדי שיתקיים המשפט הבא: אם מספרים טבעיים a ו- b הם בטווח הפונקציה f, אז כל מספר טבעי בין a ל- b הוא גם בטווח הפונקציה f ?

 

[גיל14]

המממ...

הרחבה גזירה מונוטונית עולה עם נגזרת קטנה מ1?

 

[גיל14]

לא צריך את זה.

 

[גיל14]

../images/Emo45.gif הבנתי ../images/Emo13.gif

 

[טלמון סילבר]

ואני לא הבנתי

איך זה קשור?

 

[גיל14]

ובכן (../images/Emo58.gif)

יהי קטע של מיליון טבעיים עוקבים, כולם פריקים. אז ניתן להסיט אותו אחורה, באחת כל פעם, עד שיהיו בו בדיוק 100 ראשוניים. זה אפשרי מפני שהצפיפות של הראשוניים הולכת וקטנה (ולכן אם הולכים בכיוון השני הצפיפות הולכת וקטנה), וממילא ישנם 78,498 ראשוניים בקטע מ1 ועד 1,000,000.

 

[גיל14]

הסבר יותר משכנע - עם הרמז של גיל

למרות שהוא עדיין דורש פורמליזציה כדי להיות הוכחה ממש: נגדיר פונקציה: f של n טבעי להיות מספר הראשוניים בקטע בין n לבין n+1000000. נשים לב שההפרש בין f(n+1) zz לבין f zz יכול להיות או 0, או 1, או 1-, מפני שבכל שלב אנחנו "אוספים" לכל היותר ראשוני אחד, ו"מאבדים" לכל היותר ראשוני אחד. בפרט הפונקציה מקיימת את משפט "ערך הביניים לטבעיים" של גיל: קל לראות שלכל (f<t<f(k כאשר n,k טבעיים חייב להיות ערך טבעי m כך ש f(m) = t. (סקיצת הוכחה: אם לא, הערכים g(s) = f(n+s) zz חסומים מלעיל ע"י t, בפרט f(k) = f(n+[k-n]) < t, סתירה. אם k קטן מn ניתן להחליף אותם.) קיים קטע באורך 1,000,000 בו כל המספרים פריקים, המתחיל מn, ולכן f = 0. כמו-כן f(1) = 78,498. לכן חייב להיות k טבעי כך ש f(k) = 100.

 

[טלמון סילבר]

עכשיו מובן, תודה רבה, נחמד!

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif + תוספת

ההוכחה הזו מראה את התוצאה הבאה: יהי p zzz מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל - n. אזי לכל m טבעי הקטן מ - p zzz קיימים n מספרים טבעיים עוקבים המכילים בדיוק m ראשוניים. מה לגבי m גדול מ - p zzz? האם ייתכנו n מספרים טבעיים עוקבים, המכילים יותר מ - p zzz ראשוניים? Hardy & Littlewood שיערו שלא. הם שיערו גם השערה אחרת: יהיו k_1,k_2,k_3,...,k_t מספרים טבעיים. אם לא קיים מספר ראשוני p כך שלכל x טבעי לפחות אחד המספרים

x+k_1,x+k_2,...x+k_t​

מתחלק ב - p, אזי קיימים אינסוף ערכים של x כך שכל המספרים

x+k_1,x+k_2,...x+k_t​

ראשוניים. אחר כך נתגלה ששתי ההשערות סותרות זו את זו, כי ניתן למצוא ערכים כאלה של ה - k - ים כך שלפי ההשערה השניה יהיו n טבעיים עוקבים המכילים יותר מ - p zzz ראשוניים. כיום מאמינים שההשערה השניה נכונה והראשונה לא, אבל לא ידועה דוגמה נגדית להשערה הראשונה.