חידה מתמטית קלה - 153

[עריסטו]

חידה מתמטית קלה - 153

ידוע (למי שיודע דברים כאלה

) שאם לוקחים מספר שמתחלק ב - 3, למשל 444: מחברים את החזרות השלישיות של ספרותיו:

64+64+64=192​

ושוב מחברים את החזקות השלישיות של הספרות, ושוב, ושוב,... :

1+729+8=738 343+27+512=882 512+512+8=1032 1+0+27+8=36 27+216=243 8+64+27=99 729+729=1458 1+64+125+512=702 343+0+8=351 27+125+1=153 27+125+1=153 27+125+1=153 27+125+1=153 27+125+1=153 . . .​

מגיעים תמיד ל- 153 ונתקעים שם - גם אם לא מתחילים מ-444 כמו בדוגמה, אלא ממספר כלשהו שמתחלק ב- 3! שאלה: איך אפשר לדעת שזה נכון, הרי אי אפשר לבדוק את כל במספרים שמתחלקים ב- 3?

 

[עריסטו]

חזרות=חזקות

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo62.gif

ניתן להראות שקיים מספר טבעי M כך שעבור כל מספר X שגדול מ- M, הפעולה של סכום הספרות בשלישית נותנת מספר קטן יותר מ X. לכן אם נתחיל ממספר שגדול מ- M ונבצע רצף פעולות כאלה, המספר שלנו ימשיך לקטון עד שיגיע למספר בתחום 1..M. ועבור כל המספרים האלה אפשר לוודא שאם מתחילים מהם מגיעים ל- 153.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif../images/Emo128.gif פתרון לא מלא

 

[ןן גיל ןן]

אוקיי ../images/Emo62.gif

אם למספר שלנו יש N ספרות, אז המספר הוא לכל הפחות 10 בחזקת N-1. ומצד שני סכום הספרות בשלישית קטן מ- 729*N. לכן אנו רוצים שיתקיים 10 בחזקת N-1 גדול מ- 729N. זה מתקיים עבור N=5 ובאינדוקציה קל להוכיח שזה מתקיים גם לכל N>5. מסקנה: עבור כל מספר בן 5 ספרות ומעלה הפעולה של לקיחת סכום הספרות בשלישית מקטינה את המספר, ולכן, מספיק לבדוק את הטענה עד למספר 9999.

 

[עריסטו]

פתרון לא מלא!

חסר דבר מהותי בהוכחה.

 

[milloarnon]

מה חסר

אתה מתכוון שצריך גם להוכיח שאם מעלים בחזקה שלישית את כל אחת מהספרות של מספר שמתחלק ב-3 אז גם התוצאה מתחלקת ב-3 ?? את זה אני יכול להוכיח...

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif זה מה שהיה חסר!

בלי זה - ההוכחה לא מראה כלום. (אין צורך בהוכחה מפורטת...)

 

[היחיד במינו]

../images/Emo35.gif

ומה עם 111?

 

[עריסטו]

מה הבעיה איתו?

111 -> 3 -> 27 -> 351 -> 153​