חידה מתמטית אלגנטית...

[Gaius Octavius]

הממ...

אם אתה מוכיח לN>3 בלבד, אתה תמיד יכול פשוט להוכיח שזה גם קביל ל3.

 

[srulikbd]

יש מצב לאינדוקציה?

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif בקלות!

נניח שעבור n=k מתקיים:

k^(k + 1) > (k + 1)^k k * k^k > (k + 1)^k k > (k + 1)^k / k^k k > [(k + 1)/k] ^ k k > (1 + 1/k) ^ k​

וזה מתקיים עבור n=3, אזי:

(1 + 1/(k+1)) ^ (k + 1) < < (1 + 1/k) ^ (k + 1) = = (1 + 1/k)^k * (1 + 1/k) < < k * (1 + 1/k) = k + 1​

 

[Ferma]

../images/Emo127.gifכל הכבוד!!../images/Emo13.gif

אני תמיד טוען שאחרי שמצאת פתרון אחד, זה יותר קשה למצוא פתרון אחר "טריוויאלי יותר". ואתה הרי מצאת שניים.

ח"ח

 

[טלמון סילבר]

על הראשון,

עם בינום ניוטון, באמת מגיע לי כל הכבוד על כך שאני עדין זוכר אותו מספרי הלימוד אחרי כל כך הרבה שנים

בנוגע לאינדוקציה, הרי המשפט שהוכח הוא הרבה יותר פשוט - הדרישה הרבה יותר חלשה ממה שידוע לנו על הסדרה השואפת ל-e.

 

[whassupeople]

תסתכל בתשובה שלי

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo128.gif לא טוב

א. ביקשו בלי אינפי. ב. כתבת בצורה מבולגנת: הביטוי מימין אינו [מספר] "אוילר"! רק הגבול שלו שווה e. כמו-כן, לא ציינת שסדרה זו מונוטונית עולה, ולכן כל אבריה קטנים מ-e, שגם זו עובדה הידועה מאינפי, וכפי שכבר ציינתי - ביקשו בלי אינפי. ג. ואם כבר עוסקים במתמטיקה, לא נאה לכתוב שמספר אוילר שווה 2.7, כאשר ידוע שהוא בכלל מספר אי-רציונלי! היה צריך לציין, שהוא קטן מ-2.8, ולכן גם קטן מכל מספר שלם n הגדול מ-2. ד. ההוכחה באינדוקציה מספיק פשוטה, ברמה של תיכון. ה. כנ"ל, לדעתי, גם ההוכחה עם בינום ניוטון (בה השתמשו באינפי להוכחת חסימותה של הסדרה, מה שמבטיח, בנוסף להיותה מונוטונית עולה, את קיומו של הגבול e).

(1 + 1/n)^n = = 1 + n*(1/n) + (n-1)/(2*n) + (n-1)(n-2)/(2*3*n²) + (n-1)(n-2)(n-3)/(2*3*4*n³) + . . . < < 1 + 1 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ + . . . < 3​

 

[whassupeople]

הוכחתי לגבי n ששואף לאנסוף..

לגבי אינפי לא אינפי... לא הייתי בתיכון כבר שנים אז..ובפורום אני לא גולשת ראיתי תחידה ופתרתי באמצעות גבולות...