חידה מספר 495

[clocker]

חידה מספר 495

המספר ה9-ספרתי הבא: ABCABCABC מתחלק ב495 מצא את כל האפשרויות. המטרה היא כמובן לא להריץ תוכנת מחשב

 

[JDOE]

הנה

330330330 660660660 990990990

 

[clocker]

../images/Emo128.gif../images/Emo127.gif../images/Emo128.gif

כל האפשרויות שמצאת אכן מתחלקות ב495, אבל יש עוד הנה דוגמא דבילית לעוד אפשרות שלא חשבת עליה: 495495495

 

[JDOE]

טעות שלי

הנה העוד כמה 165165165 825825825 על המספרים המ בקפיצות של 165165165

 

[clocker]

../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif

אני מניח שהטעות הקודמת שלך היתה כי הנחת שC=0 ושכחת שיכול להיות שC=5

 

[JDOE]

בערך

עברתי על האפשרות ש c = 5 רק לא מספיק טוב

 

[עריסטו]

בוא נראה

495=5*9*11 המספר ABCABCABC מתחלק ב - 5, לכן C=5 או C=0 המספר ABCABCABC מתחלק ב - 9, לכן A+B+C מתחלק ב-3 המספר ABCABCABC מתחלק ב-11, לכן

A-B+C-A+B-C+A-B+C=A-B+C​

מתחלק ב-11, כלומר הוא שווה ל-11 או ל-0. שלושת התנאים שכתבתי הם לא רק הכרחיים אלא גם מספיקים. כמו כן A שונה מאפס. נמצא את כל האפשרויות: אם C=0 ו - A-B+C=0 ------------------------ זה אומר A=B, ומכיוון ש-A+B מתחלק ב-3 זה אומר A=B=3 או A=B=6 או A=B=9 אם C=0 ו - A-B+C=11 -------------------------- לא ייתכן אם C=5 ו - A-B+C=0 ------------------------ זה אומר B=A+5, ומכיוון ש - A+B+C מתחלק ב - 3 זה אומר A=1,B=6 או A=4,B=9 אם C=5 ו - A-B+C=11 ------------------------ זה אומר A=B+6, ומכיוון ש- A+B+C מתחלק ב - 3 אזי A=8,B=2 לסיכום הפתרונות הם 330330330 660660660 990990990 165165165 495495495 825825825

 

[clocker]

../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif

 

[עריסטו]

פתרון פשוט יותר ../images/Emo163.gif

המספרים המבוקשים הם מהצורה 1001001n. מתי זה מתחלק ב - 495? נמצא את המחלק המשותף המקסימלי של 1001001 ו - 495: 1001001=3*333667 333667 זר ל-495 (כי אינו מתחלק ב-3, ב-5 או ב-11) לכן המחלק המסותף המקסימלי של 1001001 ו - 495 הוא 3, ולכן 1001001n מתחלק ב-495 אם ורק אם n מתחלק ב - 165 (זה 495/3) מזה מתקבלים אותם פתרונות.

 

[clocker]

לא ציפיתי שהחידה הזו תפתר תוך שעה !

במיוחד לא על ידי שני אנשים במקביל ועוד ב2 לפנות בוקר !