חידה הסתברותית

[עריסטו]

חידה הסתברותית

אם x1,y1,z1,x2,y2,z2 הם ששה משתנים מקריים, כך ש - ההתפלגות של x1 זהה לזו של x2, ההתפלגות של y1 זהה לזו של y2, וההתפלגות של z1 זהה לזו של z2, האם בהכרח התוחלת של x1+y1+z1 שווה לתוחלת של x2+y2+z2 ?

 

[גיל14]

מה הכוונה בהתפלגות זהה?

 

[עריסטו]

לכל a ממשי

ההסתברות ש - x1<a שווה להסתברות ש - x2<a. (גם - ההסתברות ש - x1<=a שווה להסתברות ש - x2<=a)

 

[מספר6]

../images/Emo62.gif

אם כל המשתנים הם בעלי תוחלות סופיות, אז שני הסכומים הם שווי תוחלת. אחרת, לא נכון כבר במקרה של שני זוגות. דוגמה: x1 ו-x2 הם שני מ"מ אשר בהסתברות zz 2^{-n} zz שווים ל-zz 2^n zz עבור n>=1. y1 = -x1 y2 מוגדר באופן הבא: 1) בהסתברות 1/2, zz y2 = -2*x2 zz 2) אחרת, y2 = -1 ההתפלגות של x1 זהה לזו של x2. ההתפלגות של y1 זהה לזו של y2. x1 + y1 = 0 ולכן התוחלת היא 0. מה לגבי w2 = x2 + y2? במרקה הראשון: zz w2 = -2^n zz בהסתברות zz 2^{-n-1} zz במקרה השני: zz w2 = 2^{n+1} - 1 zz בהסתברות zz 2^{-n-1} zz התוחלת של w2 היא בלתי מוגדרת כי היא תלויה בסדר הסכימה.

 

[מספר6]

טעות קטנה

במקרה השני: zz w2 = 2^n - 1 zz בהסתברות zz 2^{-n-1} zz

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif + חידת המשך (לא דייקתי בחידה)

לא חשבתי על מקרה של תוחלת לא מוגדרת... מיצאו מקרה בו E(x1+y1+z1) zzz ו - E(x2+y2+z2) zzz קיימות, אבל הן שונות.