חידה גיאומטרית

[עריסטו]

חידה גיאומטרית

ידוע שניתן לחתוך קוביה על ידי מישור כך שהחתך יהיה משושה משוכלל: http://www.puzzles.com/PuzzlePlayground/HexagonInsideTheCube/HexagonInsideTheCubeSol.htm הוכיחו: אם ניתן לחתוך תיבה על ידי מישור כך שהחתך הוא משושה משוכלל, אזי התיבה היא קוביה.

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

נתונה תיבה בממדים a b c , נחתוך אותה במישור דימיוני כך שנקבל משושה משוכלל, נפרוש את פאות התיבה ונציר עליה את צלעות המשושה. 6 קודקודי המשושה הם A B C D E F וצלעות המשולש יוצרים זויות A1 A2 על צלע התיבה ו B1 B2 עם הצלע נוספת וכך הלאה ( ראה ציור ). מהעובדה שהזוית בין צלעות המשושה היא 120 מעלות כאשר הפאות מאונכות נובע ש

0.5=sin(A1)*sin(A2) 0.5=sin(B1)*sin(B2) 0.5=sin(C1)*sin(C2) 0.5=sin(D1)*sin(D2) 0.5=sin(E1)*sin(E2) 0.5=sin(F1)*sin(F2) בנוסף A1 + B2 = 90 B1 + C2 = 90 C1 + D2 = 90 D1 + E2 = 90 E1 + F2 = 90 F1 + A2 = 90​

ממשואות אלו נובע שכל הזויות שוות ל 45 מעלות ,כי סידרת הזויות A1,B1...F1 מהוות סידרה מונוטונית אבל בפריסה אחרת הסדר משתנה למשל B1,C1'...F1,A1 יהיו סידרה מונטונית מה שמחיב שוויון כל הזויות. מסקנה כל הקטעים יושבים על אותו ישר, והמשולשים הנוצרים עם פינות המלבנים הם שווי שוקיים כיוון שהמשושה משוכלל אז כל הצלעות שוות AB=BC=CD=DE=EF=FA ולכן הנקודות A,B,...F הם במרכזי צלעות המלבנים יחד עם העובדה שהמשולשים עם הפינות הם שווי שוקיים נובע ש a=b=c כלומר התיבה היא קוביה

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif