חידה גיאומטרית

[עריסטו]

חידה גיאומטרית

מתחילים עם ארבעה משולשים ישרי-זווית חופפים, עשויים מקרטון. בכל צעד משרטטים את הגובה ליתר באחד המשולשים, וחותכים את המשולש לשני חלקים לפי הקו ששורטט. ניתן להמשיך באותו אופן עם כל אחד מהמשולשים החדשים שהתקבלו, או עם אחד המשולשים המקוריים. האם ניתן להגיע למצב בו לא יהיו לנו שני משולשים חופפים?

 

[יאיר של תמר]

תשובה../images/Emo62.gif

קל לראות שבכל חלוקה נוצרים שני משולשים חדשים דומים למשולש המקורי. (90,a,90-a) אם נחלק את שני החלקים מהחלוקה הראשונה, נקבל 4 משולשים ששנים מהם חופפים בגלל שיש להם צלע משותפת (הגובה). ברור שצריך לפחות 4 חלוקות רצופות של אחד המשולשים, אבל אחרי ארבע חלוקות של משולש אחד מקבלים ארבעה משולשים חופפים. - וחוזר חלילה.. . * (צריך ארבעה חלוקות לפחות מכיוון שאחרי 3 חלוקות של אותו משולש - יש לנו שוב שני משולשים זהים)

 

[יאיר של תמר]

קצת מיהרתי.. פירוט

החלוקות הבאות מנצלות באופן אופטימלי (מינימום חלוקות) - והן המינימום על מנת ליצור את המצב המתבקש א. השאר את משולש 1 כמות שהוא (A) ב. חלק את משולש 2 לשני חלקים (B,C) ג1,. חלק את משולש 3, לשני חלקים (B,C) - ג2. חלק כל חלק ממשולש 3, לשני חלקים (אחרת יהיו לנו כפולים), כלומר : (D,E,E,F). ג3. מכיוון שיש לנו עדיין שני E, נשאיר אחד מהם, ונחלק את השני לשניים (D,E,F,G,H) המצב מצורף בJPG עכשיו ברור שעם משולש 4, אנחנו נגיע ל- (D,E,F,G,H) ונצטרך להפטר מכולם כי D,E,F,G,H כבר מופיעים. אבל חלוקה נוספת של E תביא לנו G,H נוספים. וחלוקה של שני G ושני H תביא לנו לנו 4 חלקים חופפים.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif + חידת המשך

הפעם מתחילים ממשולש ישר זווית אחד. הטם ניתן להגיע למשולשים שלא יהיו ביניהם שניים חופפים, והם לא יכללו אף אחד מ"בניו" ו"נכדיו" של המשולש המקורי?

 

[יאיר של תמר]

../images/Emo62.gif תשובה..

לפי הבנתי, ניתן לכלול את "ניניו" של המשולש הראשון. כלומר דור 4 (אם המשולש הראשון הוא דור 1) שוב, לא ניתן לעשות זאת. הגרף ממחיש, שבדור החמישי, שבלתי נמנע להגיע אליו, ישנם 4 משולשים חופפים, וזה כבר הוכח... מקרא לגרף: לבן - דור 1,2,3 האסורים בשימוש. ירוק - משולשים שניתן להשתמש בהם, ואין צורך לחלקם שוב. אדום - משולשים כפולים, חייבים לחלקם.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[יאיר של תמר]

עכשיו שאני חושב על זה...

תודה ששאלת את השאלות בסדר הזה... אחרת הייתי צריך לצייר הרבה יותר... ויוצא מדעתי..