חידה גיאומטרית

[עריסטו]

חידה גיאומטרית

במשולש שאורכי צלעותיו a,b,c מתקיים

ac = b^2-a^2​

מה ניתן להסיק מזה בקשר לזוויות המשולש?

 

[clocker]

מותר טריגו ?

ac = b^2-a^2 נסמן את קוסינוס הזוית בין a לc בt ע"פ משפט הקוסינוסים: b^2=a^2+c^2-2act ac=c^2-2act c/a-2t-1=0 ע"פ משפט הסינוסים: a/sin(alpha)=b/sin(beta)=c/sin(gamma)=2R c/a=sin(gamma)/sin(alpha)zzz לסיכום מקבלים ש sin(gamma)-2sin(alpha)*cos(beta)-sin(alpha)=0

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif התשובה יותר פשוטה...

 

[clocker]

רגע, אבל מותר טריגו ? צריך טריגו ?

 

[ao007]

נסיון

אם מעבירים אנך מהקודקוד שממול C לC הצלע מתחלק לשני חלקים -C1 C2 zz c1^2+h^2=a^2 zz c2^2+h^2+b^2 h=האנך zz c1-c2=(a^2-b^2)/c במקרה שלנו- c1-c2=a אבל C1 קטן או שווה ל-A כלומר C2=0 c1=a h=0 קו ישר.

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

 

[ao007]

אוייי

התבלבלתי עם הנתונים, במקום b^2-a^2 התיחסתי לזה כ-a^2-b^2 ככה ש-c1 c0 מתהפכים, ואז המסכנה כמובן היא כבר שונה.

 

[Evil Guy]

נסיון:

ניתן להסיק שהמשולש הוא ישר זוית שווה שוקיים כאשר b הוא היתר והזויות הן 45,45,90?

 

[טלמון סילבר]

זה מקרה פרטי

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif פתרון

ac = b² - a² b² = a(c + a) b²(c - a) = a(c² - a²) b²c = a(b² + c² - a²) b/a = (b² + c² - a²)/bc = 2cosA = sin2A/sinA sin2A = sinB 1. B = 2A (0 < A < π/3) 2. B = π - 2A (0 < A < π/2)​

 

[טלמון סילבר]

תיקון למקרה השני -

במקרה השני מתקבל C=A, כלומר c=a, שזה במקרה הכללי פתרון עודף, מכיוון ששני האגפים הוכפלו ב-(c-a), ומקרה זה יש לבדוק בנפרד:

a = c b² = 2a²​

שזה, כפי שצוין למעלה, המקרה של משולש ישר-זווית שווה-שוקיים, שגם הוא מתאים ל"מקרה הראשון" - B=2A, שהוא, מתברר, הפתרון הכללי. אפשר, כמובן, להגיע לפתרון הכללי הזה ישירות ממשפט הקוסינוסים.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[slallum]

לא הבנתי כמה דברים../images/Emo92.gif../images/Emo101.gif

קודם כל, מה זה A ו-B? הזוויות שמול a ו-b? איך הגעת לזה?

(b² + c² - a²)/bc = 2cosA​

למה sin2A=sinB?

 

[טלמון סילבר]

מה זאת אומרת למה?

משפט הקוסינוסים:

a² = b² + c² - 2 bc cosA :ומשפט הסינוסים a/b = sinA/sinB​

 

[slallum]

מובן, תודה =]