חידה גאומטרית

[srulikbd]

חידה גאומטרית

נתון מרובע. מחברים את אמצעי הצלעות שלו לפי הסדר. חוזרים על התהליך אינסוף פעמים. לאיזה נקודה נגיע?

 

[עריסטו]

תשובה

לממוצע של הקדקודים

 

[srulikbd]

כלומר

מפגש האלכסונים...מי לימד אותי את זה? מממ פתרת בעזרת מסות? איך אפשר בגאומטריה אוקלידית...וזה אותו דבר לכל המצולעים?

 

[עריסטו]

לא מפגש האלכסונים!!!!

אלא - לכל קדקוד יש קואורדינטת x וקואורדינטת y. ה - x של הנקודה אליה מתכנסים המרובעים הוא ממוצע ה - x - ים של הקדקודים, ואותו דבר לגבי y. אפשר לתאר את הנקודה הזו בצורה גיאומטרית - אם המרובע המקורי הוא ABCD, הנקודה היא אמצע הקטע המחבר את אמצע AB ואמצע CD, וגם אמצע הקטע המחבר את אמצע AC ואמצע BD ואמצע הקטע המחבר את אמצע AD ואמצע BC (לא קשה להוכיח על ידי מסות ששלושת הקטעים האלה חוצים זה את זה - זה נכון גם אם ABCD הוא טטראדר). אפשר עם מסות: נניח שבכל קדקוד יש שתי מסות. כל המסות שוות. נתבונן במרכז הכובד של המסות. הוא אינו משתנה כאשר מעבירים את המסות שבכל קדקוד לאמצעי הצלעות היוצאות מהקדקוד, כי בכל צלע לקחנו שתי מסות שנמצאות בקצותיה והעברנו אותן למרכז הכובד שלהן (אמצע הצלע). לכן מרכז הכובד של כל המצולעים (כלומר מרכז הכובד של הקדקודים בכל מצולע) שווה. אבל זה סתם מסבך, יותר פשוט לפתור סתם עם הנדסה אנליטית: אם הקדקודים הם

(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) (x4,y4)​

אז קדקודי המצולע הבא הם

((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)​

וכן הלאה, וברור שסכום ה - x - ים של קדקודי המצולע החדש שווה לסכום ה - x - ים של קדקודי המצולע הישן, ואותו דבר לגבי ה - y -ים. לכן זה נכון בכל מצולע (גם לא צריך שהצלעות שלו יהיו במישור אחד). זה לא מוכיח שהתהליך מתכנס לנקודה - זה רק מוכיח שאם הוא מתכנס לנקודה אזי הנקודה היא מרכז הכובד של קדקודי המצולע המקורי. לפחות לגבי מרובע קל להראות שיש התכנסות, כי שטחו של כל מרובע הוא חצי משטח המרובע הקודם (אגב, המרובע השני הוא כבר מקבילית). ואסיים בחידה הפוכה. נתון מצולע ABCD...Z בעל מספר צלעות כלשהו. האם קיים מצולע A'B'C'D'...Z' כך ש - A היא אמצע הצלע A'B', B היא אמצע הצלע B'C' וכן הלאה? (כלומר נתונים אמצעי הצלעות לפי הסדר, ורוצים לבנות מצולע שאלה אמצעי צלעותיו). אם קיים - כמה מצולעים כאלה קיימים?

 

[srulikbd]

אז מפגש התיכונים?

אמרת משהו כזה...

 

[עריסטו]

אבל אנחנו מדברים על מרובע...

מה זה תיכון במרובע?

 

[srulikbd]

התבלבלתי במשולש...

 

[srulikbd]

איך הוכחת שזה מקבילית?

בדיוק ראיתי את זה כאן-הם עשו עם וקטורים. אפשר גם בדרך ממש מגעילה-פיתגורס כדי למצוא את אורך צלעות המשולש החדש, לחלק ב2, לראות שצלעות נגדיות שוות>>מקבילית.

 

[עריסטו]

ככה

שרטט את אחד האלכסונים במרובע המקורי. מתקבלים שני משולשים. שתיים מצלעות המרובע החדש הן קטעי אמצעים במשולשים האלה, ולכן הם מקבילים לאלכסון ומקבילים זה לזה.

 

[srulikbd]

מצאו מה סכום שטחי המקביליות שנוצרות

כששטח המקבילית הראשונה הוא 1. עריסטו וCLOCKER תנו רמז לשאלות שלכם...

 

[עריסטו]

מה, אנחנו לא יודעים לחשב

סכום סדרה הנדסית?

 

[srulikbd]

והפעם איך ראית שזה חצי

יש דרך יפה?

 

[עריסטו]

יש המון דרכים

אפשר להשתמש בנוסחה לחישוב שטח מצולע לפי קואורדינטות הקדקודים. אפשר לומר שמספיק להוכיח לגבי מלבן, כי כל מקבילית ניתן לקבל ממלבן על ידי shear (יש לזה שם בעברית?) שאינו משנה את היחס בין שטחים. אפשר לקפל פנימה את ארבעת המשולשים הבולטים (התחומים ששייכים למקבילית החיצונית ולא לפנימית) והם מכסים את המקבילית הפנימית. אפשר לשרטט את האלכסונים במקבילית הפנימית ומקבלים זוגות של משולשים חופפים.

 

[clocker]

האלכסונים לא חייבים להפגש !

לדוגמא: תנסה לצייר מרובע בצורת "בומרנג"

 

[עריסטו]

במקרה זה ניתן לומר

שנקודת המפגש היא נקודת החיתוך של אלכסון אחד עם המשכו של האלכסון האחר.

 

[clocker]

חידה ברוח החידה שלך

ניקח מצולע כלשהו עם n קודקודים. מחברים את אמצעי הצלעות שלו לפי הסדר, וחוזרים על התהליך מספר מסוים של פעמים. האם זה נכון שתמיד נקבל מצולע קמור אחרי כמה שלבים של התהליך הזה ? אם כן - אחרי כמה שלבים לכל היותר ? אם לא - תן דוגמא למצולע שהתהליך הזה עבורו מביא מצולע קעור, לא משנה כמה פעמים חוזרים על התהליך. (מספר סופי כמובן)