חידה אלגברית

[יאיר של תמר]

חידה אלגברית

הוכח כי אם X+Y+Z=1 (כולם ממשיים) אז XY + YZ + XZ < 1./2

 

[ןן גיל ןן]

פתרון

נעלה את שני האגפים בריבוע, נעביר x^2+y^2+z^2 לאגף השני, ונחלק ב-2.

 

[יאיר של תמר]

נכון, ../images/Emo127.gif + המשך מעניין

חידה זו הופיעה בגיליון שהפיקה חברת LITTON INDUSTRIES בסוף שנות החמישים. אחד משולחי הפתרונות הביך את העורכים ע"י הוכחת משפט חזק יותר.. אם נכון X+Y+Z=1 אזי XY+XZ+YZ < 1/3 כיצד עשה זאת?

 

[יאיר של תמר]

תיקון : צ"ל "=>" ולא ">"

 

[1אברהם]

ניסיון

נתחיל מההוכחה של השאלה המקורית נעלה בריבוע נעביר אגף ונחלק ל2 כמו שהיציע גיל

(x+y+z)²=1²=1 x²+y²+z²+2xy+2xz+2zy=1 2xy+2xz+2zy=1-(x²+y²+z²) xy+xz+zy=0.5-(x²+y²+z²)/2​

הראינו ש xy+xz+zy קטן מחצי עכשיו נראה ש x²+y²+z² גדול שווה מ 1/3 תחת האילוץ ש x+y+z=1 ואז הביטוי xy+xz+zy יהיה קטן שווה 1/3 .

f(x,y,z)=x²+y²+z² f(x,y) = x²+y²+(1-x-y)² = x²+y²+1+x²+y²-2x-2y-2xy = 1+2x²+2y²-2x-2y-2xy נמצא ניגזרות חלקיות לפי 2 המשתנים ונשווה ל0 df(x,y)/dx = 4x-2+2y = 0 df(x,y)/dy = 4y-2+2x = 0 והפיתרון הוא x=1/3 , y= 1/3, z=1/3 עבור נקודת קיצון זו ערך הפונקציה הוא f(x,y,z)=x²+y²+z²=1/9+1/9+1/9=1/3​

צריך רק להראות שנקודת קיצון זו היא מינימום ולא אוכף או מקסימום ואז מתקבל ש x²+y²+z² גדול שווה מ 1/3 תחת האלוץ ש x+y+z=1

 

[1אברהם]

תוספת

נקודת הקיצון שמצאנו היא מינימום כי הנגזרת השניה לפי כל משתנה היא חיובית תמיד

 

[יאיר של תמר]

אממ... ייתכן שזה .. ../images/Emo127.gif

לצערי - לא אוכל לעקוב אחרי תשובתך - חסר לי הרקע (למרבה יגוני!) ישנם חבר'ה שמסוגלים לאמת את תשובתך... מי שמסוגל - בבקשה... [וקיימת תשובה יותר פשוטה]

 

[ןן גיל ןן]

זה ../images/Emo127.gif

ופתרון אחר- ראשית מוודאים שהמקסימום של הביטוי XY+XZ+YZ מתקבל בנקודה מסוימת. (זה שקול לכך שהביטוי X^2+Y^2+Z^2 מינימלי. לכן ברור ש- X Y ו- Z חסומים בגודלם). נוכיח שבנקודת המקסימום, בהכרח X=Y=Z: אם למשל X שונה מ- Y אז נחליף את X ואת Y בממוצע של X ו- Y כלומר ניקח את הערכים T,T,Z כאשר T הממוצע של X ו- Y. נקבל את הביטוי T^2+2TZ=T^2+XZ+YZ וקל לראות בעזרת אי שוויון הממוצעים עבור X ו- Y שהביטוי החדש גדול מ- XY+XZ+YZ. סתירה.

 

[טלמון סילבר]

פתרון נוסף, בסיסי.

x + y = 1 - z (x + y)² - 4xy = (x - y)² ≥ 0 (x + y)² ≥ 4xy xy ≤ (x + y)² / 4 = (1 - z)² / 4 xy + xz + yz = xy + z(x + y) = xy + z(1 - z) ≤ (1 - z)²/4 + z - z² = = 1/4 - z/2 + z²/4 + z - z² = -(3/4)z² + z/2 + 1/4 = -(3/4)[ z² - (2/3)z + 1/9] + (1/9)(3/4) + 1/4 = = 1/12 + 1/4 - (3/4)(z - 1/3)² = 4/12 - (3/4)(z - 1/3)² ≤ 1/3​

מש"ל.

 

[יאיר של תמר]

יפה ../images/Emo127.gif + הפתרון שנשלח

יפה מאוד, טלמון, התשובה המקורית שנשלחה לעורכים לא הרבה יותר פשוטה משלך. והנה היא.. נציב X = 1/3 + A Y = 1/3 + B Z = 1/3 + C ברור כי A+B+C שווים 0. ונציב : XY+XZ+YZ = 1/3 + 2/3 (A+B+C) + AC + AB + BC "נטפל" בביטוי לעיל: א. zzz 2/3 (A+B+C) =0 ב. קל להוכיח* כי AC+AB+BC<=0 (נובע מ A+B+C=0) ונשארנו עם: XY+XZ+YZ <= 1/3 ----------- * הוכחה כי אם A+B+C=0 אז AC+BC+AB<=0 אם נציב C=-A-B ב AC+BC+AB נקבל AB -A² -B²- A²,-B²- קטנים או שווים ל-0, ובודאי סכומם בערך מוחלט גדול מ A*B- (שיכול להיות חיובי אבל קטן מערכם המוחלט)

 

[טלמון סילבר]

עוד יותר טוב ../images/Emo13.gif

 

[Renatius Cartesius]

הוכחה יפה ביותר... רק...

"טעות" קטנטנה... f(x,y) = x²+y²+(1-x-y)² = x²+y²+1+x²+y²-2x-2y-2xy = 1+2x²+2y²-2x-2y-2xy בסוף זה +2xy ואיך זה לא השפיע על הפתרון בהמשך... מעניין... בכל אופן... פתרון יפה מאוד!

 

[Renatius Cartesius]

אני לא מצליח לשרשר!!!!

התגובה היא למר. איברהים...

 

[1אברהם]

נכון , אבל בהמשך

שגזרתי לפי x ו y גזרתי את 1+2x²+2y²-2x-2y+2xy ( ולא את 1+2x²+2y²-2x-2y-2xy שזה טעות כי צריך להיות בסוף +2xy ) . ולכן זה זה יצא בסדר.

 

[Renatius Cartesius]

יצא מצויין!

פתרון יפה מאוד...

 

[טלמון סילבר]

פתרון גיאומטרי בדרך של אברהם

הביטוי x² + y² + z² הוא ריבוע מרחק נקודה (x,y,z) מראשית הצירים במרחב תלת-מימדי. אם הנקודה נמצאת על המישור x + y + z = 1 אז פשוט נמצא את המרחק מראשית הצירים אל מישור זה, והריבוע שלו הוא המינימום של סכום הריבועים! המרחק מראשית הצירים אל המישור הוא:

|1| / sqrt(1² + 1² + 1²) = 1 / sqrt(3)​

 

[Renatius Cartesius]

וואי!!!

אתה גאון!

 

[יאיר של תמר]

מסכים - פתרון אלגנטי ביותר!

העורכים בודאי מתביישים בעצמם מאוד עכשיו

 

[the YOOK]

וואו... כל כך פשוט ואלגנטי.

 

[srulikbd]

ניסיתי למצוא פתרון בעזרת ההבנה

שאם z x>=y>=z z אז z y<=1/2 z<=1/3 z יש למשיהו רעיון?