חידה (אין לי פתרון)

[עריסטו]

חידה (אין לי פתרון)

אולי אתם תעזרו לי... נתון מצולע, לא בהכרח קמור, אבל כזה שאינו חותך את עצמו. לא קשה להוכיח שלכל מצולע כזה יש זווית חדה (הרי הגודל הממוצע של זווית במצולע בעל n צלעות הוא 180 מעלות כפול zzz (n-2)/n, זאת אומרת - פחות מ-180 מעלות, וזה לא ייתכן אם כל הזוויות גדולות מ-180 מעלות. בציור רואים שיש זווית חדה ABC, ובתוך המשולש ABC יש קדקוד נוסף של המצולע - D. כמו כן יש עוד שתי זוויות חדות, BCD ו - BAD, ובתוך המשולשים BCD ו - BAD אין קדקוד נוסף של המצולע. השאלה שלי היא - האם לכל מצולע (שאינו חותך את עצמו) יש זווית חדה כזו, שאינה מכילה קדקוד נוסף של המצולע?

 

[עריסטו]

תיקון טעות ../images/Emo70.gif

כל פעם שכתבתי "זווית חדה" צריך להיות "זווית קטנה מ-180 מעלות".

 

[srulikbd]

נראה לי שלמעשה חייבות להיות 3 זוויות קטנות מ

180

 

[עריסטו]

זה נכון. האם תמיד אחת מהן

אינה מכילה קדקוד של המצולע?

 

[srulikbd]

נראה לי שכן

ברגע שיש לך זווית קטנה מ180 אתה יוצר זויית גדולה מ180 כדי להיכנס לתוכה, ואז נוצרת לך עוד זווית קטנה מ180 שגם לתוכה את צריך להיכנס, אבל המצולע שלנו בעל מספר סופי של צלעות, והוא גם לא יסגר

 

[מספר6]

אפשר לראות זאת ע"י טריאנגולציה

מעבירים אלכסונים בתוך המצולע כל עוד זה אפשרי. בסוף התהליך המצולע בעל n צלעות מחולק ל-(n-2) משולשים ע"י n-3 אלכסונים. אם כך, חייב להיות לפחות קודקוד אחד שלא יוצא ממנו אלכסון. קודקוד זה מקיים את התנאי המבוקש: הוא פחות מ-180 כי הוא קודקוד של משולש, והמשולש הזה אינו מכיל אף קודקוד אחר של המצולע כי הוא משולש של הטריאנגולציה.

 

[srulikbd]

נראה לי נכון יפה ../images/Emo13.gif

 

[srulikbd]

מצד שני צריך להראות שאפשר להעביר אלכסונים

 

[מספר6]

אם המצולע קמור

אז בטח שאפשר להעביר כל אלכסון שהוא (וממילא כל הזויות קמורות ויוצרות משולשים שלא מכילים קודקודים אחרים). אם המצולע קעור, אז ניקח קודקוד קעור (כלומר כזה שהזוית בו היא מעל 180). הקודקוד הזה "רואה" איזושהיא צלע. אם הוא רואה את אחד מהקצוות של הצלע, אפשר להעביר ביניהם אלכסון. אם לא, סימן שמסתירים לו ע"י קודקוד קעור אחר. אבל אז הוא רואה את הקודקוד הקעור ואפשר להעביר ביניהם אלכסון.

 

[עריסטו]

זאת בדיוק השאלה

"בסוף התהליך המצולע בעל n צלעות מחולק ל-(n-2) משולשים ע"י n-3 אלכסונים." איך אנחנו יודעים את זה? כלומר איך אנחנו יודעין שהתהליך לא "ייתקע" לפני זה?

 

[מספר6]

ראה תשובתי הקודמת

בכל מצולע שאינו משולש אפשר להעביר אלכסון. מכאן, שכל עוד יש חלקים שאינם משולשים, התהליך לא ייתקע.

 

[גיל14]

אבל אלכסונים אלה...

הם אלכסונים של המצולע המקורי? לא יתכן שאחד האלכסונים האלה יהיה בתוך מצולע, שאחד הקודקודים שלו הוא חיתוך של שני אלכסונים מקוריים, למשל?

 

[מספר6]

אין חיתוך בין האלכסונים

בהגדרה כל אלכסון עובר בתוך מצולע משלו ולא בין שני מצולעים שונים

 

[Alkhimey]

אולי

אינדוקציה התנאי מתקיים בכל במשולש. נניח במקרה הגרוע שיש לנו מצולע בעל N קודקודים ו N-1 מהזוויות הן או בעלות יותר מ 180 מעלות או מכילות קודקוד. המצולע מקיים את התנאי. נוכיח שאם נוסיף קודקוד למצולע אז התנאי עדיין יתקיים. אפשר כמובן להוסיף סתם קודקוד אבל אז המצלע ימשיך לקיים את התנאי (כי יש כבר זוות של פחות מ 180 מעלות שלא מכילה קודקוד) לכן נוסיף קודקוד עם המטרה להרוס את התנאי. אפשר לעשות את זה בשתי דרכים: 1) הקודקוד גורם מגדיל את הזוות הבעיתית ליותר מ 180 מעלות (אין לי מושג לגבי זה) 2) הקודקוד נוסף "לתוך" הזוות. בציור נוסף קודקוד P לתוך זוות A. אבל הזוות החדשה שנוצרה היא קטנה מ 180 מעלות (גם לזה אין לי הוכחה) והיא לא מכילה שום קודקוד, בגלל שאם היא מכילה קודקוד אז זוות A הייתה מכילה את הקודקוד כבר לפני זה ובחרנו זוות A כך שהיא לא תכיל.