גאומטריה מעגל

[srulikbd]

גאומטריה מעגל

על קיר תלויים שני שעונים זהים ומדויקים( כלומר בגודל ובמהירות הסיבוב), כל אחד מהם מראה שעה מסויימת (לא משנה איזה). המרחק המינימאלי בין קצוות מחוגי השעות שלהם הוא m והמקסימלי M. מהו המרחק בין מרכזי השעונים? פתרתי את זה, ואת פתרון של הערים לא הבנתי. נביא אותו אחרי שמישהו יפתור...

 

[regit knup]

אם הבנתי נכון אז....

 

[regit knup]

תיקון - שכחתי לכתוב את התשובה../images/Emo3.gif

(M-m)/2​

 

[טלמון סילבר]

קיבלתי תשובה שונה -

d = (m + M) / 2​

זה גם יותר הגיוני: קח את המקרה ששני השעונים מסונכרנים, ואז m=M=d

 

[טלמון סילבר]

פתרון טכני באמצעות טריגונומטריה.

R = רדיוס, אורך מחוג. x = המרחק בין המרכזים. גדול מ- 2R. נעביר מערכת צירים. ראשית הצירים נמצאת במרכז אחד השעונים, וציר x הוא הישר המחבר את שני המרכזים. בכל רגע נתון t, שיעורי קצוות המחוגים הם:

( R cos(t), R sin(t) ) ( x + R cos(t + α), R sin(t + α) ) :המרחק בין הקצוות f(t) = sqrt { [ x + R (cos(t + α) - cos(t))]² + [R (sin(t + α) - sin(t))]² } = = sqrt { x² + 2Rx (cos(t + α) - cos(t)) + R²[cos²(t + α) + cos²(t) + sin²(t + α) + sin²(t) - 2cos(t + α)cos(t) - 2sin(t + a)sin(t)] } = = sqrt { x² + 2Rx (cos(t + α) - cos(t)) + R²[2 - 2cos((t + α) - t)] } = = sqrt { x² - 4Rx sin(α/2) sin(t + α/2) + 2R²(1 - cos(α)) } = = sqrt { x² - 4Rx sin(α/2) sin(t + α/2) + 4R² sin²(α/2) } :מכאן m = sqrt { x² - 4Rx |sin(α/2)| + 4R² sin²(α/2) } = x - 2R|sin(α/2)| M = sqrt { x² + 4Rx |sin(α/2)| + 4R² sin²(α/2) } = x + 2R|sin(α/2)| m + M = 2x x = (m + M) / 2​

 

[srulikbd]

יפה, איך מצאת את המינימום והמקסימום

? הפתרון שלי: תסתכלו בציור, הבנתי שככה נמצא המינימום והמקסימום, הבנתי שמכל מצב התחלתי הם יגיעו לאותה זווית(רק הזווית בכיוון הנגדי..)-המינימום והמקסימום נמצאים על אותו קוטר, ואז יש לנו קטע אמצעים בטרפז. צריך להוכיח שזהו המינימום ומשם המרחק גדל עד למקסימום ואז קטן...זה לא קשה( מסמנים את התוספת בx של המרחק ובy, ומבינים שבגלל שיש פה שיקוף אז בשני הוא גם מתארך בx וy רק הפוך..), משתמשים בפיתגורס. לקח לי דיי הרבה זמן...וגם לא חשבתי על הפתרון שלך אפשר הסבר על הפתרון שלהם? http://teramips.com/totsite/Solutions/Tirgul/T12/Autumn/S_12_A_O_3.doc תודה

 

[srulikbd]

והתמונה

 

[טלמון סילבר]

שלך יותר יפה,

אבל... אותה השאלה: איך אתה מוכיח שזה מינימום ומקסימום? בפתרון שלי זה מובן מאליו, כי הסינוס, שהוא המשתנֶה היחיד בביטוי למרחק בין שני המרכזים, מקבל את כל הערכים בין [1, 1-]. אגב, הביטויים שכתבתי עבור m ו-M מתארים בדיוק את בסיסי הטרפז שלך

 

[srulikbd]

טוב טעיתי, אבל מצאתי הוכחה חדשה

כדי להוכיח שזה מינימום ומקסימום. נוכיח עבור מינימום, עבור מקסימום זה דומה. בציור הראשון העברת שני מעגלים כרגיל, המרחק ביניהם כשהם באותה זווית, ואז העליתי את הימני בזווית x ואת השמאלי הורדתי בזווית x. חברתי את הקצוות שלהם בקו. צריך להראות שהוא ארוך יותר מאשר כשהם אותה זווית. בציור השני שיקפתי את שני המעגלים-כלומר בכל אחד גם הורדתי בזווית x וגם העליתי בזווית x. ואז חיברתי בקו ויצרתי טרפז. אם נוכיח שהקטע אמצעים בו קטן מאלכסון הטרפז, סיימנו, כי אפשר לראות שהקטע אמצעים יהיה ארוך יותר מהקטע כשהם בזווית שווה, כי הקשת פונה פנימה...להוכיח את זה, זה קל מאוד... עכשיו בקשר לשלך, אז כדי שזה יהיה מינימום/מקסימום אתה מציב -1 1? לא ראיתי שהצבת...ואת הפתרון שלהם אני ממש לא מבין, יש שני מעגלים זהים, למה הם הוסיפו מעגל גדול יותר? תודה

 

[srulikbd]

טוב קראתי שוב את ההסבר שלך והפעם הב

נתי את הפתרון שלהם תודה

 

[טלמון סילבר]

בנוגע

לפתרון שלי, אז בביטוי לריבוע המרחק:

x² - 4Rx sin(α/2) sin(t + α/2) + 4R² sin²(α/2)​

המשתנה t מופע רק פעם אחת. הוא מקבל את כל הערכים בטווח [0, 2π], והסינוס מקבל את כל הערכים בטווח [1, 1-]. הערכים של הסינוס 1 ומינוס 1 נותנים את המינימום ואת המקסימום, לא משנה באיזה סדר. פשוט לא נכנסים לשאלה, אם הקבוע (sin(α/2 הוא שלילי או חיובי. אפשר היה לעשות את זה אחרת - ממש לא עקרוני.

 

[טלמון סילבר]

קראתי את ההוכחה שלך - יפה מאוד ../images/Emo45.gif

וה"התחכמות" שלי עם |(sin(α/2| היתה בעצם מיותרת, כי הסינוס הזה אינו שלילי.

 

[srulikbd]

תודה ../images/Emo13.gif ידעתי שקיימת הוכחה פשוטה

כי זה פשוט הגיוני. אבל אני מניח שזאת פילוסופיה בגרוש, ולפעמים מה שהגיוני לא ניתן להוכחה בקלות...אלא אם קובעים אותו כאקסיומה

 

[טלמון סילבר]

טוב, הפתרון שלהם הרבה יותר יפה.

בכל רגע נתון, המחוג השמאלי וה"שיבוט" שלו יוצרים מקבילית, מה שמאפשר לקחת קטע אחר בתור המרחק בין הקצוות. החלק המעניין בסיפור שלהם הוא זה, שהמחוג הימני ביחד עם ה"שיבוט" של המחוג השמאלי מהווים "מקשה אחת", הזווית ביניהם אינה משתנה! כך שבעצם מתקבל כאילו מחוג נוסף לשעון הימני, קצת עקום (שבור), שקצהו הוא קצה ה"שיבוט", ו"מחוג" עושה בשקט את הסיבובים שלו מסביב למרכז השעון הימני, ברדיוס מסוים r, וגם ההמשך ברור.