בוחן פתע

[כלמנ]

בוחן פתע

ביום שישי נכנסה המורה למתמטיקה (שולה) לכיתה והודיעה: מתישהו במשך השבוע הבא אני אערוך בוחן פתע. ואני מבטיחה לכם שעד הבוקר של אותו היום, אתם לא תדעו על המבחן. אמרה ורד: אני יודעת שהמבחן לא יהיה ביום שישי, כי אם עד סוף יום חמישי לא יהיה מבחן, אז נדע שהוא ביום שישי, ושולה המורה אמרה שאנחנו לא נדע עד הבוקר של אותו היום. אמרה הילה: אני יודעת שהמבחן לא יערך ביום חמישי, כי אם עד סוף יום רביעי ....ושולה המורה אמרה ... אותו היום אמרה דליה: אני יודעת.... ביום רביעי .. שולה המורה ... אותו היום אמרה גליה: אני ... שלישי ... שולה ...היום אמרה בתיה: אני ... שני ... היום אמרה אלונה::אז המבחן צריך להיות ביום א, אבל אנחנו יודעות עליו כבר עכשיו, אז אי אפשר לעשותאותו ביום א. הבנות הסיקו שההצהרה של המורה סותרת את עצמה, ולכן לא יהיה מבחן במשך השבוע הבא. האם הבנות צודקות?

 

[leebalan]

אני מניח שהמילה בוחן לעומת המילה מבחן לא משנה

נכון?

 

[כלמנ]

נכון

 

[Shaakedod]

לדעתי הן טועות

לדעתי הן טועות ובגדול .. מפני שהמסקנה שהבוחן יהיה ביום שישי נובעת מכך שהוא לא היה ביום חמישי ... אבלל ... זה יכול להיות לא נכון .. מפני שזהו בוחן פתע כלומר (ניתן דוגמא את יום שלישי) יום שני עבר בשלום והבנות שמחות ... עכשיו כדי שהבוחן יהיה דווקא בשלישי הן צריכות שהוא לא יתקיים גם בכל שאר הימים אבל זה הנחה שגויה ... המורה יכולה ביום שלישי לבוא בבוקר ולומר שיש בוחן. אני מבין את מה שהן עשו אבל זה התבססות שגויה לדעתי על נתון שלא בהכרח מתקיים.

 

[כלמנ]

צריך הסבר...

זה טיבעו של פרדוקס: יש שתי אפשרויות, שתיהן הגיוניות אך סותרות זו את זו. מצד אחד: ברור שהן טועות: המורה תבוא ביום שלישי ותאמר להן להוציא דפים ולסגור ספרים והן יהיו מופתעות. מצד שני: הן הסבירו יפה מאוד למה המבחן לא יכול להיות ביום שישי. הסבר משכנע, לא? ובהנתן ההסבר הזה הן הראו שלא יתכן מבחן פתע גם היום ה,ד,ג,ב וא. היכן הטעות?

 

[כלמנ]

גילוי נאות

אני לא בטוח שאני יודע את התשובה. אשמח להשתתף בדיון בנושא.

 

[Crurifragium]

רעיון

אפשר להגיד שהן טועות *בגלל* שהן הוכיחו שלא יהיה בוחן. אם הן לא יודעות מתי יש בוחן, אבל מסתמכות על טענת המורה שיהיה בוחן פתע, אז ההוכחה עומדת, ולא יהיה בוחן פתע. אבל אחרי שהן הגיעו למסקנה הזאת, שאין בוחן פתע, אז הנתון של קיום בוחן פתע נעלם, כי מבחינתן לא יהיה בוחן. אם הן בטוחות שלא יהיה בוחן, אז הן לא יצפו לו ביום האחרון (שישי) גם אם הוא לא נעשה קודם, כך שאפשר לעשות אותו בשישי והוא יהיה הפתעה גמורה. ומאותה סיבה אפשר גם לעשות אותו בכל יום אחר.

 

[leebalan]

תשובה גאונית!!

 

[בסג]

שרשור בנושא

http://www.haayal.co.il/thread?rep=63071&LastView=&Close=0

 

[כלמנ]

כן גם אני

אחרי קצת בדיקה מצאתי שזה פרדוקס ידוע עם תשובות קלאסיות. ויקי: http://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox אם הייתי יודע מראש לא הייתי מעלה את החידה, היא לא מתאימה לדיון בפורום כזה...

 

[Crurifragium]

מעניין

 

[Shaakedod]

זה די דומה למה שאמרתי D:

 

[בסג]

../images/Emo4.gif

כמה שקראתי שרשורים ומאמרים בנושא בימים האחרונים, יותר ויותר דברים נראו לי דומים אחד לשני ומתחברים אחד עם השני אך בסופו של דבר הראש שלי מבולבל עכשיו לגמרי ואני עדיין לא בטוח מה בדיוק קורה פה.

 

[פרסאוס]

זו דוגמא קלאסית להיקש מוטעה.

ורד צודקת - אי אפשר לעשות מבחן ביום שבת ולכן אם לא יערך עד חמישי הרי שהוא בשישי ולכן לא יכול להיות בשישי. שאר הבנות, טועות. אין להן שום אפשרות לחיזוי העתיד ולהתחלה של השבוע באופן הפוך. הטעות שלהן היא בזה שהן לוקחות נתון נכון אבל נתון עתידי והופכות אותו לנתון עברי. המבחן יכול להערך ביום ראשון והתלמידים לא ידעו, כך גם בשני וכו, רק לא בשישי. ההיקש נעשה כאן מהסוף להתחלה ולכן הוא שגוי. אי אפשר להתחיל את השבוע ביום האחרון של שבוע הבא. כאן טמון ה"באג" בחידה. הסבר פשוט יותר: ביום ראשון ניתן לעשות את הבוחן. תיאורטית ניתן היה לעשות אותו בכל יום אחר (פרט לשישי) ולכן זו הפתעה. גם ביום שני, שלישי ורביעי. כאשר נשארים רק יומיים הבוחן יכול להיות רק בחמישי ולכן טכנית זה כבר לא בוחן פתע, אבל כאן נחשפת הבעייה בחידה! הבנות התבססו על נתון נכון (לא יהיה בוחן פתע בשישי) ומשם המשיכו את השבוע בכיוון ההפוך. ואז שרפו יום אחרי יום. במציאות, ישנם חמישה ימים לערוך את הבוחן. אין אפשרות להתחיל שבוע בכיוון ההפוך. לכן ביום ראשון אפשר להכריז על בוחן פתע וגם בשני. וגם בשלישי. כי עדיין יש יומיים נוספים אפשריים. אחרי שהזמן כבר עבר, ואין אפשרויות נוספות אז אפשר לפסול. אבל (שוב) אי אפשר להתחיל שבוע הפוך.

 

[Crurifragium]

אתה טועה

אמרת שמקובל עליך שלא ניתן לעשות "בוחן פתע" ביום שישי, נכון? אז מבחינה זו שישי הוא כמו שבת (לא ניתן בשניהם לעשות בוחן פתע), וההגיון לפיו לא ניתן לעשות אותו בחמישי הוא זהה לזה שלפיו קבעת שלא ניתן לעשות אותו בשישי. אין שום הבדל בין להגיע לשישי בלי שנעשה הבוחן לפני, ללהגיע לחמישי בלי שהוא נעשה לפני. וכמובן מכאן רביעי, שלישי, וכו'... זה לא קשור ל"להתחיל את השבוע מהכיוון ההפוך". ההנחה היא רק שאם הגעת ליום האחרון בו ניתן היה לעשות את הבוחן, והוא עוד לא נעשה, אז אי אפשר לעשות אותו גם ביום הזה (כי הוא לא יהיה פתע). אחרי שפסלת את היום האחרון, השבוע "הפנוי" לבחני פתע התקצר, והיום האחרון לביצוע הבוחן הוא אחד אחורה. אם לא מקובל עליך שאחרי שנפסל יום שישי אז גם אי אפשר לעשות בוחן פתע בחמישי, אז צריך באותה מדה לא להיות מקובל עליך שלא ניתן לעשות אותו בשישי. זה בדיוק אותו הגיון.

 

[פרסאוס]

אתה טועה.

ביום שבת באמת אי אפשר לעשות מבחן. ולכן ההנחה ליום שישי היא נכונה. לגבי שאר הימים כן אפשר לבחון ולכן ההסקה היא מוטעית. אם המורה תעשה בוחן ביום שני, איך ניתן יהיה לצפות אותו? אם תוכל לצפות אותו הרי שאני טועה. אם לא, אתה טועה.

 

[Crurifragium]

ושוב

ביום שבת אי אפשר לעשות מבחן פתע, ולכן ההנחה ליום שישי (שאי אפשר לעשות בו מבחן פתע) היא נכונה. ביום שישי אי אפשר לעשות מבחן פתע (הסכמנו), ולכן ההנחה ליום חמישי היא נכונה (בדיוק כמו לשישי). ביום חמישי אי אפשר... רביעי... שלישי... שני... ראשון. בכל איטרציה אתה מוכיח שהיום האחרון בו אפשר לעשות את המבחן הוא מוקדם יותר. אותו סיגנון של הוכחות באינדוקציה. אי אפשר ביום N, ולכן ברור שאי אפשר ביום N-1 . אם אי אפשר בN וב N-1 אז אי אפשר בN-1-1 . אפשר לצפות את הבוחן בשני בדיוק כמו שאפשר לצפות אותו בשישי. מכאן הבעייתיות, וזה בדיוק מה שהופך את זה לפרדוקס.

 

[פרסאוס]

שוב, אתה טועה

ההנחה ליום שישי מתבססת על זה שביום שבת אי אפשר לעשות בוחן והיא נכונה. ההנחה לגבי יום חמישי מתבססת על הנחה בעייתית שאי אפשר לקיים בוחן ביום שישי. אפשר, תיאורטית הוא כבר לא יהיה פתע, אבל אפשר. הנחת יום רביעי שגויה לחלוטין! אם לא התקיים הבוחן ביום שלישי הרי שהוא יכול להתקיים ביום חמישי וביום רביעי. אתה לא יכול לדעת. מה שמקשה כאן על ההבנה שההיסק נראה נכון. אבל הוא לא. הסיבה: ההנחה נמשכת מהעתיד אל העבר. הסבר: אם ביום שישי אי אפשר אז אחורה, גם ביום חמישי אי אפשר ואז אחורה ביום רביעי וכו'. איפה הטעות (שלך ושל אחרים)? הזמן נמשך קדימה. ביום ראשון אין לך שום מושג מתי יהיה הבוחן. אתה לא יכול לספור את השבוע לאחור. זו הבעייה באינדוקציה הזו. כל יום כשלעצמו אם הוא נשען על היום שאחריו באמת נראה כאילו בלתי אפשרי. אבל, אין לך שום אפשרות לדעת מה יהיה, למעט ביום שישי. אז אכן, אם הגעת עד יום חמישי בסוף הלימודים, באמת אי אפשר לקיים את הבוחן, אבל, תדע את זה רק בסוף יום חמישי. שים לב לטענה הנכונה היחידה: "אם לא יתקיים בוחן עד חמישי בסוף היום, הוא יהיה חייב להיות בשישי ואז הוא צפוי". טענה נכונה! אבל, הוא מצריך ידיעה של כל שאר הימים! ואם כן יהיה בוחן ביום אחר עד יום חמישי? הטענה לא תהיה נכונה! כל האינדוקציה תיפול. אז אם לא יהיה בוחן עד סוף חמישי, נוכל להסיק לשאר הימים (אבל, לא נצטרך, כי אנחנו כבר יודעים). הנה לך הפרכה מהירה! בטוח יתקיים בוחן לפני יום שישי. עכשיו הטענה המרכזית שעליה נשען העניין קורסת.היא לא נכונה וכך כל שאר הטענות. כל מה שהמורה צריכה לעשות - בוחן לפני יום שישי.

 

[Crurifragium]

ושוב, לא

אתה יכול לעבור על כל שילובי האפשרויות מראש. (כשאני אומר בהמשך "בוחן" אני מתכוון "בוחן פתע" כי בזה עוסקת החידה. אני אוסיף פתע רק כשזה נראה לי חשוב להדגשה) ביום חמישי בבוקר, אם עוד לא היה הבוחן, אז יש שתי אפשרויות. או שהוא יהיה ביום חמישי, או שהוא יהיה אח"כ. נכון? אבל אם שוקלים את האפשרות שהוא לא יהיה ביום חמישי, אז זה אומר שהוא יהיה ביום שישי. רק שבמקרה כזה נגיע ליום שישי בלי שהיה הבוחן קודם, והסכמנו שבמקרה כזה לא יכול להיות בוחן ביום שישי. כלומר שביום חמישי בבוקר אנחנו יודעים שהוא לא יכול להיות ביום שישי, ולכן חייב להיות בחמישי. אבל אם בחמישי בבוקר אנחנו מגיעים למסקנה שהבוחן בחמישי, אז הוא לא בוחן פתע. ולכן הוא לא יכול להיות בחמישי (אחרי שהגענו לחמישי בבוקר בלי בוחן). בשביל להגיע לחמישי בבוקר בלי בוחן, אז הבוחן לא היה קודם. כלומר שכשנגיע לרביעי בבוקר, עדיין לא היה בוחן. ואז שתי אפשרויות. או שיהיה ברביעי, או שיהיה אח"כ. אם לא יהיה ברביעי, זה משאיר חמישי או שישי. אבל ראינו שכשמגיעים לחמישי בבוקר בלי בוחן, לא יהיה בוחן. כלומר נשאר רק רביעי. ואז הוא לא בוחן פתע. וכו', וכו'. ביום ראשון אכן אין מושג מתי יהיה הבוחן. אבל אתה יודע בוודאות שאו שהוא יהיה ביום ראשון, או שהוא יהיה אח"כ. אם הוא יהיה אח"כ, אז תגיע לשני בבוקר בלי שהיה בוחן, ואז או שהוא יהיה בשני, או שהוא יהיה אח"כ. ברגע שאתה עובר על כל עץ האפשרויות העתידי, אתה פוסל את כל האפשרויות. הבוחן יהיה, אם הוא יהיה, אך ורק באחד מימי השבוע. ובכל יום, אם הוא לא היה קודם, אז הוא יהיה באותו יום או באחד הימים אחריו. זרימת הזמן כאן לא עקרונית, כי אתה יכול בבת אחת, בתחילת השבוע, לעשות עץ של כל ההתפלגויות. אז אתה מתחיל בראשון, ואומר או שהוא יהיה היום, או שאח"כ. ממשיך לשני, וכך הלאה. ואז כשאתה מגיע לשישי אתה רואה שהוא לא יכול להיות בשישי. וזה משליך אחורה, כי יש לך סתירה בסוף העץ. אתה חייב לפסול את הענף בו הבוחן בשישי. אם פסלת אותו, השיקול שלך בחמישי לא נכון, כי כשהענף של שישי לא אפשרי אז חמישי הוא האחרון, ואז לא יכול להיות בו בוחן פתע.

 

[פרסאוס]

ושוב אתה טועה וחוזר חלילה

המשפט הראשון שלך אם עוד לא היה הבוחן. זה מה שאתה לא מבין. אתה מניח את ההנחה הזו ואז עושה הקשה כדי להוכיח שהיא נכונה. אז ניסיתי (בנתיים ללא הצלחה) להסביר שהאם הוא שגוי. ומה אם כן היה הבוחן? באחד הימים שלפני? כל ההנחה שלך קורסת. החלק השני בפוסט שלך, חסר היגיון לגמרי. מה זאת אומרת ביום ראשון או אח"כ? נו באמת. מגיע יום ראשון, אין לך מושג אם יהיה בוחן ביום ראשון. ולכן אם יהיה בוחן ביום ראשון הוא יהיה בוחן פתע. אם לא יהיה ביום ראשון, עדיין יש את שאר הימים. השורה הראשונה חסרת הגיון לגמרי. והשנייה בדיוק כמו הראשונה. {אם הוא יהיה אח"כ, אז תגיע לשני בבוקר בלי שהיה בוחן, ואז או שהוא יהיה בשני, או שהוא יהיה אח"כ.}? אם הגעת לשני בבוקר ויש בוחן, הוא לא פתע? מה ההיגיון בשורה הזו? ברור שאו שהבוחן היום או שהוא אח"כ. זו לא אומר שלא תופתע. על אותו עקרון, לא נופתע מהמוות. כי ברור שאחמדינג'אד ימות היום - או שלא. אם תצליח בצורה זו לדעת מתי ימות אחמדינג'אד, אני בטוח שתמצא את עצמך במשרה משתלמת. העץ שלך שגוי. העובדה שאו שיהיה או שלא, לא נותנת לך צפי. אם ננסה להשליך על משהו מובן יותר, נלך להגרלת הלוטו. אם תמלא 10 טורים מסויימים בטופס אתה יודע בוודאות שתזכה, או שלא(משליך מהשורה הראשונה בפסקה השנייה שכתבת). עכשיו, אם לפי זה תמצא את המספר הזוכה... כמובן שאם תחשב מספיק יהיה לך גם המספר הזוכה, אבל לא תדע מתי לשלוח אותו וזו הקבלה מדויקת. מבין 18 מליון וקצת או 6 ימים יכול להיות יום בוחן או טור זוכה. אתה יכול לנחש את כולם ואתה יודע שבאחד מהם יהיה. אבל העניין הוא שבלי התאמה של שניהם אתה תופתע. שים לב להוכחה שלך: אם לא היה בוחן עד חמישי בסוף היום... ומפה אתה מוכיח אחורה למרות שאין צורך, כי הרי כבר הנחת שלא היה בוחן עד חמישי בסוף היום. ברגע שאתה אומר או שהוא היום או שלא, אז כבר הכשרת אותו כבוחן פתע.ביום שישי הוא כבר לא יהיה. ברגע שיש "או" אז יש מקום להפתעות.