אם את מכירה את החשבון הפונקציונאלי, אז זה נובע מיידי
מגדירים f:Spec(a)->C ע"י f(t)=t.
אנחנו יודעים מהמשפט הספקטרלי ש- zz f(T)* = conj(f)(T) zz, כאשר conj(f) היא הפונקציה הצמודה.
מצד שני, בגלל ש-spec(a) ממשי אז conj(f)=f, וסיימנו.
 
כנ"ל בשני, משתמשים בזהות ניומן בשביל להגדיר zz T^-1=sum(I-T)^i zz
ואז פשוט הביטוי השני יכול להיכתב כ-f(T) כאשר f זה הגבול הנקודתי של הפולינומים zz fn(x)= sum(1-x)^i zz עבור i בין 0 ל-n.
משיקולי חשבון פונקציונאלי או משהו, יש כאן התכנסות.
ואז מקבלים ש- T^-1=f(T) zz
ומצד שני, על גבי הספקטרום, הפונקציה f(x)=x^-1 מקיימת f(x)=conj(x) (אלה מספרים על מעגל היחידה), ולכן zz f(T)=T* zz, ובסה"כ נקבל zzz T^-1=T* zz.
 
נ.ב. להבא נראה לי עדיף לפנות למתרגל, אלו שאלות של לימודים מתקדמים, תואר שני, זה לא חוכמה לפנות לאינטרנט.
 
