אינסופיות....

[בוהה ניכחו]

גם הגבול

של סידרת פיבונאצ'י הוא מספר לא ראציונאלי. אני מתכוון לגבול של הסידרה שכל איבר בה הוא מנה של איבר בסידרת פיבונאצ'י מחולק באיבר שאחריו. לא?

 

[בוהה ניכחו]

סתם אני משוויץ בידע אקראי

אבל יש לי חשד עמום שמושג האינסוף הוא פרדוקסלי גם מבחינה מתמטית.

 

[karpada1]

זוהי היכרות

האם אתה מבין מדוע קבוצת הממשיים (שילוב של הרציונאליים והאי רציונאליים)נתפסת כמייצגת רצף?

 

[בוהה ניכחו]

אני מעז לחשוב שכן, קצת,

כי אם בין כל שתי נקודות יש עוד נקודה, הרי שהלא ראציונאליים עושים את תפקיד המילוי הזה בהצלחה מרשימה. לאן אתה חותר?

 

[sheketz]

בשביל זה לא צריך לא-רציונאלים

בין כל שני מספרים רציונלים קיימים עוד מספרים רציונלים (הממוצע שלהם למשל).

 

[בוהה ניכחו]

אז לא, לא יודע.

לאן אתה חותר?

 

[karpada1]

התפיסה שלך דווקא די מדוייקת

 

[sheketz]

הרציונלים אינם צפופים דיים

אבל את הצפיפות צריך להביע באופן אחר .

 

[karpada1]

אילו פגמים אתה מוצא בצפיפות

בצורתה העוצמתית?

 

[sheketz]

מהי הצפיפות העוצמתית?

אינני מבין את המושג הזה. ההגדרות/אקסיומות שאני מכיר של הצפיפות הן הגדרות אחרות (שקולות זו לזו) ------------- 1. אקסיומת קאנטור (קאנטור) קטע סגור - קבוצה של כל המספרים בין שני מספרים X ו Y כולל X ו Y. החיתוך של סדרה אינסופית של קטעים, כאשר כל קטע מכיל את זה שבא אחריו ,וכאשר אורך הקטעים שואף לאפס, הוא נקודה. -------------- 2. אקסיומת החסם העליון (דדקינד) חסם מלעיל של קבוצה = מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה. חסם עליון של קבוצה = החסם העליון המינימלי (הקטן ביותר) לכל קבוצה של מספרים ממשים החסומה מלמעלה יש חסם עליון. ----------------- 3. סגירות (קושי) סידרת קושי (סדרה המקיימת את תנאי קושי) = סדרה שאבריה מתקרבים זה לזה עד כמה שנרצה ככל שמתקדמים בה. לכל סידרת קושי יש גבול. -------------- הרציונלים לא מקיימים אף אחת מהאקסיומות הללו (ששקולות זו לזו) הממשים מקימים אותן. מכאן אפשר להסיק מהי עוצמת הממשים אבל אינני רואה כיצד עושים זאת מהעוצמה לרציפות.

 

[sheketz]

"פרדוקס" זנון - בורל - לבג

אפשר גם לראות שהמספרים הרציונלים אינם מספיקים/צפופים בשביל לכסות את הישר באופן הבא: 1. המספרים הרציונלים בין 0 ל 1 (כולל) הם קבוצה בת מניה (עוצמה א0) לכן אפשר נסדר אותם בסדרה R3 R2 R1... 2. יהי A מספר כלשהו אז נבנה סידרה של קטעים באופן הבא: S3 S2 S1 ... S1 הוא באורך A/2 ומכסה (מכיל) את R1 S2 הוא באורך A/4 ומכסה את R2 S3 הוא באורך A/8 ומכסה את R3 ובאופן כללי SN מכסה את RN ובאורך A/2^N האיחוד של סדרת הקטעים הזאת מכסה את כל הקטע [0 1] - כל המספרים בין אפס ל 1 - כולל 0 ו 1. ומסד שני, סך כל האורכים שלהם הוא A. אנחנו יכולים לבחור את A להיות 1/2 או 1/4 או 1/1000000 או כל מספר קטן כרצונינו. אבל אורך הקטע צריך להיות קטן מסכום אורכי הקטעים המכסים אותו כלומר אורך הקטע מתאפס.... כמובן הפואנטה היא שהמספרים הרציונלים הם קבוצה בת מניה ולכן אינם מספיקים לכסות את הקטע - אנו זקוקים לעוצמה גדולה יותר!!!!

 

[בוהה ניכחו]

שאלה:

כתבת "אבל אורך הקטע צריך להיות קטן מסכום אורכי הקטעים המכסים אותו כלומר אורך הקטע מתאפס...." זה לא צ"ל קטן או שווה?

 

[sheketz]

מקבל תיקון

אורך הקטע קטן או שווה לסכום אורכי הקטעים המכסים אותו. ומכייון שאנחנו יכולים לבחור A (חיובי) כלשהו אז אורך הקטע חייב להיות אפס.

 

[בוהה ניכחו]

תודה, זה פרדוקס משעשע

אבל אני עדיין לא הבנתי את הקטע עם המספרים המתחלקים בעשר B. איך זה שכמותם שווה לכמות המספרים הטבעיים בכלל A למרות ש B היא חלקית ל A ויש מספרים ב A שאינם ב B. יש כאן שני שיקולים שמביאים לסתירה. מה לא הבנתי?

 

[sheketz]

העוקץ

הוא באופן בו אנו משווים קבוצות. אם משווים בשיטות שונות עלולים לקבל תוצאות שונות. השיטה הראשונה היא הכלה בין קבוצות, והשיטה השניה היא על ידי "צימוד איברים" בין הקבוצות, כלומר יצירת זוגות של איברים כפי שכבר דיברנו. בעצם תסתכל על שתי הקבוצות הבאות 1, 2, 3,.... 2, 3, 4,.... אנחנו יוצרים את הזוגות 1,2 2,3 3,4 4,5 וכך הלאה. איבר אחד מהקבוצה העליונה ואיבר אחד מהקבוצה התחתונה. והנה תיארתי לך את תהליך המניה - כיצד אני עובר ממספר אחד למספר העוקב שלו. וגם - יש כאן התאמה בין קבוצה לקבוצה חלקית שלה... אתה רואה , בעצם תהליך המניה הפרדוקס הזה כבר מתחבא.

 

[בוהה ניכחו]

אז יש פרדוקס אם כך.

או שלא הבנתי כלום. מצד אחד אני יכול לבצע התאמה חד חד ערכית ועל בין כל איבר בקבוצה החלקית לכל איבר בקבוצה המכילה אותה. ומכאן שלשתי הקבוצות מספר איברים שווה. אך מאידך ברור לי שכל האיברים בקבוצה החלקית נמצאים גם בקבוצה המכילה אותה, אבל בה יש איברים שאינם נמצאים בקבוצה החלקית. מכאן שמספר האיברים שבשתיהן איננו שווה. ואם תרצה לאמר שאין משמעות בכלל לביטוי "מספר האיברים" כאשר מדברים על קבוצה המכילה אינסוף איברים - הרי שמשמעות זאת נשללת ממנו גם כאשר מנסים ללמוד על "מספר איברים שווה" כתוצאה מהתאמה חד חד ערכית ועל. תודה על סבלנותך.

 

[sheketz]

הבנת יפה מאוד

עבור קבוצות אינסופיות זונחים את מושג המספר ו"מחליפים" אותו במושג העוצמה. אבל זה לא סוף הסולם.

 

[בוהה ניכחו]

תודה

 

[karpada1]

נדמה לי שאנחנו מסכימים

 

[karpada1]

קיימים,אך לא ברציפות.