מהם הדברים המורכבים ביותר במתמטיקה?
- פותח הנושא mnv
- פורסם בתאריך
Georg Frobenius
New member
תורת המספרים
זהו אחד הנושאים הרחבים והמקיפים ביותר בתחום המתמטיקה. כמעט כל נושא אפשרי במתמטיקה מעורב כאן בצורה כזו או אחרת. אחד הנושאים המרכזיים בתחום הוא של המשוואות הדיופנטיות. בקצרה, אם V יריעה אלגברית המוגדרת מעל הרציונלים (למשל אוסף פתרונות של מערכת משוואות פולינומיאליות מעל המרוכבים, אך בפירוש זו לא הדוגמה היחידה) מעבר למבנה הגאומטרי של V הנחקר בכלים של גאומטריה אלגברית, אנו מעוניינים בחקר הנקודות הרציונליות בתוך V (בדוגמה שלעיל אלו הנקודות בעלות הקואורדינטות הרציונליות) וביתר כלליות גם את הנקודות שמוגדרות מעל שדה מספרים נתון ( הרחבה סופית של Q.) מקרים פרטיים הם החבורות האלגבריות: זהו המקרה שבו על V יש מבנה של חבורה ושחוקי החבורה נתונים על ידי מורפיזמים של יריעות אלגבריות. העקומים האליפטיים שייכים למשפחה זו. אלו הן חבורות אלגבריות פרוייקטיביות (=מעין דרישה של קומפקטיות) ממימד 1 (=עקומים). אחד המשפטים החשובים בתחום הוא משפט מורדל וויל שאומר שאוסף כל הנקודות הרציונליות בעקום אליפטי מעל Q מהווה חבורה נוצרת סופית. בתורה זו מעורבים תחומים כגאומטריה אלגברית, פונקציות מרוכבות (למשל פונקציות אליפטיות, פונקציות תיטה ותבניות מודולריות, כמו גם פונקציות זטה ו L), תורת ההצגות (הצגות של חבורות גלואה על מרחבי נקודות פיתול בעקום אליפטי), תורת החבורות (איזוגניות של עקומים אליפטיים וקוהומולוגית גלואה), תורת שדות המחלקה (עקומים אליפטיים מסויימים הקשורים להרחבות אבליות של שדות ריבועיים), מספרים p-אדיים (עקומי טייט) קריפטוגרפיה (הצפנות בעזרת עקומים אליפטיים), יש גם שימוש אמיתי במושג הסכמה מתוך גאומטריה אלגברית (להבנת מודלים מיוחדים של עקומים אליפטיים מעל Z שהם בעלי תכונות "יפות") ועוד. האנלוגים הרב מימדיים של עקומים אליפטיים הן מה שקרוי יריעות אבליות וכאן נדרש ידע כבד עוד יותר בגאומטריה אלגברית כדי ללמוד את הנושא. יריעות אבליות מופיעות כחבורות פיקאר (זהו בערך האנלוג הגאומטרו-אלגברי של חבורת המחלקות) של עקומים אלגברים. הבניות הנ"ל מתחילות מהתורה של הפונקציות המרוכבות האנליטיות (משטחי רימן ואינטגרלי מסלול) ומוכללות בעזרת הגאומטריה האלגברית לסיטואציה מופשטת, שמכסה גם יריעות מעל שדה במציין p. משתמשים כאן בין היתר בכלי של אלומות הפיכות (אלו הם אגדים ווקטוריים המשמשים כאנלוגים של פונקציות תיטה). בדומה לתורה האנליטית המרוכבת, קיימת תורה p-אדית שבה מגדירים "יריעות אנליטיות קשיחות" שהן אנלוגים של היריעות האנליטיות המרוכבות, והתורה האנליטית מוכללת גם בכיוון הזה (למשל, יש מושג של אינטגרל מסלולי, למרות שאין מסילות בטופולוגיה ה p אדית). כיוון נוסף בתורת המספרים הוא לימוד של שדות מספרים. האינווריאנטה המעניינת והמסתורית ביותר היא של חבורת המחלקות. ישנה תורה יפה ביותר הנקראת תורת שדות המחלקה, הקושרת בין חבורת המחלקות של השדה (ועוד חבורות מ'הסוג הזה') להרחבות האבליות של אותו שדה. ניתן לקבל הכללות חלקיות בעזרת נקודות שעל יריעות אלגבריות המייצרות הרחבות מתאימות. בהקשר הזה ידועות השערות Langlands המנסות להכליל את תורת שדות המחלקה להרחבות לא אבליות. המשפט המפורסם של Wiles שגורר את השערת פרמה הוא מקרה פרטי של השערות Langlands. יש עוד נושאים רבים הנחקרים בתורת המספרים, אך קצרה היריעה. מי שירצה עוד פירוט לגבי הנושאים שנזכרו כאן יכול להשיב להודעה זו ואשמח להשיב.
זהו אחד הנושאים הרחבים והמקיפים ביותר בתחום המתמטיקה. כמעט כל נושא אפשרי במתמטיקה מעורב כאן בצורה כזו או אחרת. אחד הנושאים המרכזיים בתחום הוא של המשוואות הדיופנטיות. בקצרה, אם V יריעה אלגברית המוגדרת מעל הרציונלים (למשל אוסף פתרונות של מערכת משוואות פולינומיאליות מעל המרוכבים, אך בפירוש זו לא הדוגמה היחידה) מעבר למבנה הגאומטרי של V הנחקר בכלים של גאומטריה אלגברית, אנו מעוניינים בחקר הנקודות הרציונליות בתוך V (בדוגמה שלעיל אלו הנקודות בעלות הקואורדינטות הרציונליות) וביתר כלליות גם את הנקודות שמוגדרות מעל שדה מספרים נתון ( הרחבה סופית של Q.) מקרים פרטיים הם החבורות האלגבריות: זהו המקרה שבו על V יש מבנה של חבורה ושחוקי החבורה נתונים על ידי מורפיזמים של יריעות אלגבריות. העקומים האליפטיים שייכים למשפחה זו. אלו הן חבורות אלגבריות פרוייקטיביות (=מעין דרישה של קומפקטיות) ממימד 1 (=עקומים). אחד המשפטים החשובים בתחום הוא משפט מורדל וויל שאומר שאוסף כל הנקודות הרציונליות בעקום אליפטי מעל Q מהווה חבורה נוצרת סופית. בתורה זו מעורבים תחומים כגאומטריה אלגברית, פונקציות מרוכבות (למשל פונקציות אליפטיות, פונקציות תיטה ותבניות מודולריות, כמו גם פונקציות זטה ו L), תורת ההצגות (הצגות של חבורות גלואה על מרחבי נקודות פיתול בעקום אליפטי), תורת החבורות (איזוגניות של עקומים אליפטיים וקוהומולוגית גלואה), תורת שדות המחלקה (עקומים אליפטיים מסויימים הקשורים להרחבות אבליות של שדות ריבועיים), מספרים p-אדיים (עקומי טייט) קריפטוגרפיה (הצפנות בעזרת עקומים אליפטיים), יש גם שימוש אמיתי במושג הסכמה מתוך גאומטריה אלגברית (להבנת מודלים מיוחדים של עקומים אליפטיים מעל Z שהם בעלי תכונות "יפות") ועוד. האנלוגים הרב מימדיים של עקומים אליפטיים הן מה שקרוי יריעות אבליות וכאן נדרש ידע כבד עוד יותר בגאומטריה אלגברית כדי ללמוד את הנושא. יריעות אבליות מופיעות כחבורות פיקאר (זהו בערך האנלוג הגאומטרו-אלגברי של חבורת המחלקות) של עקומים אלגברים. הבניות הנ"ל מתחילות מהתורה של הפונקציות המרוכבות האנליטיות (משטחי רימן ואינטגרלי מסלול) ומוכללות בעזרת הגאומטריה האלגברית לסיטואציה מופשטת, שמכסה גם יריעות מעל שדה במציין p. משתמשים כאן בין היתר בכלי של אלומות הפיכות (אלו הם אגדים ווקטוריים המשמשים כאנלוגים של פונקציות תיטה). בדומה לתורה האנליטית המרוכבת, קיימת תורה p-אדית שבה מגדירים "יריעות אנליטיות קשיחות" שהן אנלוגים של היריעות האנליטיות המרוכבות, והתורה האנליטית מוכללת גם בכיוון הזה (למשל, יש מושג של אינטגרל מסלולי, למרות שאין מסילות בטופולוגיה ה p אדית). כיוון נוסף בתורת המספרים הוא לימוד של שדות מספרים. האינווריאנטה המעניינת והמסתורית ביותר היא של חבורת המחלקות. ישנה תורה יפה ביותר הנקראת תורת שדות המחלקה, הקושרת בין חבורת המחלקות של השדה (ועוד חבורות מ'הסוג הזה') להרחבות האבליות של אותו שדה. ניתן לקבל הכללות חלקיות בעזרת נקודות שעל יריעות אלגבריות המייצרות הרחבות מתאימות. בהקשר הזה ידועות השערות Langlands המנסות להכליל את תורת שדות המחלקה להרחבות לא אבליות. המשפט המפורסם של Wiles שגורר את השערת פרמה הוא מקרה פרטי של השערות Langlands. יש עוד נושאים רבים הנחקרים בתורת המספרים, אך קצרה היריעה. מי שירצה עוד פירוט לגבי הנושאים שנזכרו כאן יכול להשיב להודעה זו ואשמח להשיב.
Georg Frobenius
New member
נכון
אם כי לא לגמרי מדויק. מחלקות איזומורפיזם של אלומות הפיכות מגדירות מחלקים. אם נחלק את זה ביחס השקילות הרציונלית (מודולו מחלקים ראשיים) נקבל את חבורת פיקאר. בנוסף לכך, היריעות האבליות שהזכרתי (שנקראות יריעות היעקוביאן) מתאימות לחלק בתוך חבורת פיקאר שנקרא Pic^0.
אם כי לא לגמרי מדויק. מחלקות איזומורפיזם של אלומות הפיכות מגדירות מחלקים. אם נחלק את זה ביחס השקילות הרציונלית (מודולו מחלקים ראשיים) נקבל את חבורת פיקאר. בנוסף לכך, היריעות האבליות שהזכרתי (שנקראות יריעות היעקוביאן) מתאימות לחלק בתוך חבורת פיקאר שנקרא Pic^0.
Georg Frobenius
New member
על איזה נושא?
אני אוכל להשיב רק היום בערב
אני אוכל להשיב רק היום בערב
נראה לי...
שהכי קשה זה מד"ר 2... חבל"ז... (עוד לא למדתי את זה אבל לפי מד"ר 1 זה צריך להיות ממש קשה...
) אבל. איך אתם בכלל יכולים לחשוב על דברים כאלה איזוטריים כשכל המדינה במלחמה וכו' אני חושב שעכשיו זה לא הזמן לגאומטריה אלגברית ושות' כל המדענים צריכים להתאחד ולהמציא דרך לחסל את הטרור ואת נסראללה! אני בטוח שאפשר להגיע לפתרון אם כולם יתאמצו! MEGABOB
שהכי קשה זה מד"ר 2... חבל"ז... (עוד לא למדתי את זה אבל לפי מד"ר 1 זה צריך להיות ממש קשה...
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.