שיר שמח - חדו"א - מתאים לחשבון הנקדני -

[backbencher]

רשמתי הודעתך לפני...על גבי קרח יבש...

 

[עריסטו]

תיקון לחידה

החידה הנכונה היא:
לחלק את העיגול לחמישה חלקים שווי שטח באמצעות ארבע עקומות שלכולן אותו אורך.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

יש אינסוף דרכים לעשות את זה.

למשל, לחלק את העיגול לארבעת הרביעים, למצוא לרביע אחד עקומה כלשהי שנוגסת ממנו חמישית משטח העיגול, ולשכפל אותה באופן סימטרי בכל הרביעים.

דוגמה לעקומה כזאת ברביע הראשון של העיגול x²+y²=1: שני קטעים, המחברים את הנקודה (π/20, π/20) עם הנקודות (0 ,1) ו-(1 ,0).

 

[עריסטו]

אז אתקן את החידה שוב

לחלק את העיגול לחמישה חלקים שווי שטח ושווי היקף באמצעות ארבע עקומות שוות אורך (שאינן חותכות זו את זו פרט, אולי, לקצותיהן).

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

הצעת פתרון גס גם לזה,

בו אחד הקצוות של כל אחת מארבע העקומות נוגע בעקומה אחרת.
גם בדוגמה זו העקומות מורכבות מקטעים ישרים. כל אחת מהן היא קו שבור לא סגור.
נסמן במעגל היחידה את שמונה הנקודות הבאות:
(a,0), (0,a), (-a,0), (0,-a)
(b,b), (-b,b), (-b,-b), (b,-b)
(0 < a < 1,
0 < b < cos45°)
להלן פירוט הנקודות, שמחברים הקטעים הישרים, מהן מורכבות העקומות:
1. (0,1), (b,b), (a,0), (b,-b)
2. (1,0), (b,-b), (0,-a), (-b,-b)
3. (0,-1), (-b,-b), (-a,0), (-b,b)
4. (-1,0), (-b,b), (0,a), (b,b)
שתי הדרישות - שוויון חמשת השטחים ושוויון חמשת ההיקפים, מגדיר שתי משוואות לשני הנעלמים a ו-b.
למערכת זו יש שני פתרונות, שהם בערך:
(a=0.70512, b=0.22277)
(a=0.33005, b=0.47592)
אגב, אחת המשוואות היא: ab=π/20.

 

[עריסטו]

ועכשיו מצא פתרון שניתן לבנות בסרגל ומחוגה

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

מה, אני סופרמן?

שזוג הטרולים יפתרו את זה עם קרח יבש