חידה: משוואה טרנסצנדנטלית

[בחשכת הלילה]

מהו השורש הקטן ביותר של המשוואה
a^x = x^a
כאשר
a = 18446744073709551616/6568408355712890625
הערה: זה לא כל כך קשה כמו שזה נראה.

 

[עריסטו]

1152921504606846976/437893890380859375

 

[בחשכת הלילה]

1152921504606846976/437893890380859375

תוכל להסביר לקהל הרחב את דרך הפתרון?

 

[עריסטו]

תוכל להסביר לקהל הרחב את דרך הפתרון?

חישוב קל מראה ש - zzz (1+1/x)^x, (1+1/x)^(1+x) zzz
הם זוג מספרים שמקיימים את התכונה a^b=b^a
המספר הנתון בחידה הוא zzz (16/15)^16 zzz כלומר הוא מתקבל מ - x=15 (או x=-16), ולכן בן זוגו הוא zzz (16/15)^15 zzz.
כאשר x שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף) שני בני הזוג מתקרבים זה לזה משני צידי e. מכל המספרים הגדולים מ-1, רק ל - e אין בן זוג. מה שקוראים "e בודד".

 

[בחשכת הלילה]

חישוב קל מראה ש - zzz (1+1/x)^x, (1+1/x)^(1+x) zzz
הם זוג מספרים שמקיימים את התכונה a^b=b^a
המספר הנתון בחידה הוא zzz (16/15)^16 zzz כלומר הוא מתקבל מ - x=15 (או x=-16), ולכן בן זוגו הוא zzz (16/15)^15 zzz.
כאשר x שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף) שני בני הזוג מתקרבים זה לזה משני צידי e. מכל המספרים הגדולים מ-1, רק ל - e אין בן זוג. מה שקוראים "e בודד".

תודה. לא הייתי כותב את זה כל כך קצר וקולע!
בחרתי בכוונה מספרים גדולים שקל לפרק אותם לגורמים אפילו ידנית.

 

[עריסטו]

תודה. לא הייתי כותב את זה כל כך קצר וקולע!
בחרתי בכוונה מספרים גדולים שקל לפרק אותם לגורמים אפילו ידנית.

דרך להגיע לפרמטריזציה הנ"ל:
נניח x^y=y^x כאשר y>x. נסמן y=rx (כאשר r>1).
אז
zzz x^(rx)=(rx)^x zzz
zzz rx logx = x(logr + logx) zzz
zzz r logx = logr + logx zzz
zzz (r-1)logx = log r zzz
zzz logx = logr / (r-1) zzz
zzz x = r^(1/(r-1)) zzz
zzz y = r^(r/(r-1)) zzz
נגדיר r = 1+1/k
ונקבל
zzz x = (1+1/k) ^ k zzz
zzz y = (1+1/k) ^ (1+k) zzz

 

[בחשכת הלילה]

דרך להגיע לפרמטריזציה הנ"ל:
נניח x^y=y^x כאשר y>x. נסמן y=rx (כאשר r>1).
אז
zzz x^(rx)=(rx)^x zzz
zzz rx logx = x(logr + logx) zzz
zzz r logx = logr + logx zzz
zzz (r-1)logx = log r zzz
zzz logx = logr / (r-1) zzz
zzz x = r^(1/(r-1)) zzz
zzz y = r^(r/(r-1)) zzz
נגדיר r = 1+1/k
ונקבל
zzz x = (1+1/k) ^ k zzz
zzz y = (1+1/k) ^ (1+k) zzz

נקווה שעדיין יהיו אנשים שיקראו את הדברים האלה

 

[Lucifer LightBringer]

נקווה שעדיין יהיו אנשים שיקראו את הדברים האלה

עדיין קורא טלמון, עדיין קורא.
אבל לא לעיתים תכופות.