Henry0
Well-known member
הפילוסופיה של ה- ∞ וה- ε
למה אני קורא לזה "פילוסופיה"?
כי אלו גדלים מחשבתיים, שלא קיימים במציאות.
את ה- ∞ כמעט כולם מכירים בכינוי "אינסוף", הוא לכאורה מספר, אך אין לו תכונות של מספר רגיל.
הוא המספר שכל מספר אחר שלא תעלה על דעתך, האינסוף גדול ממנו.
האינסוף כמיספר מעלה סתירות רבות, ולכן פותחה עבור האינסוף אלגברה מיוחדת, שבה למשל:
∞ + 5 = ∞
במתמטיקה יכלנו למצוא אלגברה מיוחדת למספר המשונה הזה, במציאות אי אפשר, כל דבר אינסופי מוביל לסתירה.
את ה- ε מכירים פחות, הוא המקבילה של האינסוף לכוון השני.
ה- ε הוא מספר חיובי, שכל מספר חיובי אחר שלא תעלה על דעתך, ה- ε קטן ממנו (קטן באופן אינפיניטיסימלי, קטן עד אינסוף).
גם ה- ε הוא מספר משונה, כי ε - חצי ε לכאורה קטן יותר מ- ε
גם כאן היה צריך לבנות אלגברה מיוחדת למספר המשונה הזה.
ε - ε/2 = ε
אז למה לנו להמציא בניינים פילוסופים דימיוניים שאין להם מקבילה במציאות?
כי בעזרתם אנו יכולים לפתור בעיות מתמטיות ופיזיקליות בדיוק קרוב כרצונינו.
לדוגמא, כולם יודעים שקו הוא קבוצה אינסופית של נקודות.
היעלה על דעתו של מישוהא שצייר קו, שאכן יש בקו כמות אינסופית של נקודות?
ברור שלא.
ואף על פי כן, אם נחלק את הקו תאורטית לאינסוף (∞) חלקים, כל שכל חלק יהיה קטן מאד מאד (ε), אם נעשה סיכום של אינסוף החלקים האלה (אינטגרל), נוכל לחשב את אורך הקו.
אנקדוטה
אומרים שאת החשבון האינפיניטיסימלי המציאו לייבניץ' וניוטון, לחוד, פחות או יותר
באותו זמן.
לייבניץ' כפילוסוף ומתמטיקאי, ניוטון כפיזיקאי שהיה צריך לפתור בעיות מתמטיות.
האם היה צורך ב-2 גאוני ענק כדי להמציא את התורה הזו?
זכור לי שאחרי השיעור הראשון בחשבון האינטגראלי והדיפרנציאלי באוניברסיטה (ששם ניכנסים לעומק ופרוט גדול בהרבה מאשר בתיכון) חבר טוב שלי ללימודים היה מאד מעוצבן, "איך לא חשבתי על כך קודם" הוא סינן לי.
למה אני קורא לזה "פילוסופיה"?
כי אלו גדלים מחשבתיים, שלא קיימים במציאות.
את ה- ∞ כמעט כולם מכירים בכינוי "אינסוף", הוא לכאורה מספר, אך אין לו תכונות של מספר רגיל.
הוא המספר שכל מספר אחר שלא תעלה על דעתך, האינסוף גדול ממנו.
האינסוף כמיספר מעלה סתירות רבות, ולכן פותחה עבור האינסוף אלגברה מיוחדת, שבה למשל:
∞ + 5 = ∞
במתמטיקה יכלנו למצוא אלגברה מיוחדת למספר המשונה הזה, במציאות אי אפשר, כל דבר אינסופי מוביל לסתירה.
את ה- ε מכירים פחות, הוא המקבילה של האינסוף לכוון השני.
ה- ε הוא מספר חיובי, שכל מספר חיובי אחר שלא תעלה על דעתך, ה- ε קטן ממנו (קטן באופן אינפיניטיסימלי, קטן עד אינסוף).
גם ה- ε הוא מספר משונה, כי ε - חצי ε לכאורה קטן יותר מ- ε
גם כאן היה צריך לבנות אלגברה מיוחדת למספר המשונה הזה.
ε - ε/2 = ε
אז למה לנו להמציא בניינים פילוסופים דימיוניים שאין להם מקבילה במציאות?
כי בעזרתם אנו יכולים לפתור בעיות מתמטיות ופיזיקליות בדיוק קרוב כרצונינו.
לדוגמא, כולם יודעים שקו הוא קבוצה אינסופית של נקודות.
היעלה על דעתו של מישוהא שצייר קו, שאכן יש בקו כמות אינסופית של נקודות?
ברור שלא.
ואף על פי כן, אם נחלק את הקו תאורטית לאינסוף (∞) חלקים, כל שכל חלק יהיה קטן מאד מאד (ε), אם נעשה סיכום של אינסוף החלקים האלה (אינטגרל), נוכל לחשב את אורך הקו.
אנקדוטה
אומרים שאת החשבון האינפיניטיסימלי המציאו לייבניץ' וניוטון, לחוד, פחות או יותר
באותו זמן.
לייבניץ' כפילוסוף ומתמטיקאי, ניוטון כפיזיקאי שהיה צריך לפתור בעיות מתמטיות.
האם היה צורך ב-2 גאוני ענק כדי להמציא את התורה הזו?
זכור לי שאחרי השיעור הראשון בחשבון האינטגראלי והדיפרנציאלי באוניברסיטה (ששם ניכנסים לעומק ופרוט גדול בהרבה מאשר בתיכון) חבר טוב שלי ללימודים היה מאד מעוצבן, "איך לא חשבתי על כך קודם" הוא סינן לי.
