אי-שוויון המשולש

[ספי12310]

אי-שוויון המשולש

לא הבנת את הכלל השלישי של מטריקה.
הבנתי את הכללים הבאים:
1. מטריקה בין איקס לוואי = מטריקה בין וואי לאיקס.
2. מטריקה בין (איקס לוואי = 0) שקולה ל(איקס = וואי).
3. את המטריקה השלישית של אי שוויון המשולש לא הבנתי. האם תוכלו להסביר לי בצורה פשוטה מהו?

 

[אורי769]

פשוט מאד

מה יותר קצר... לנסוע מירושלים לחיפה או לנסוע מירושלים לת"א ואז מת"א לחיפה? ברור שאם צריך לעבור בדרך בת"א זה מאריך את הדרך... או ליתר דיוק זה לא עושה את הדרך קצרה יותר.

מטריקה היא מושג מתמטי שמכליל את המושג היומיומי של "מרחק". התנאי הראשון שציינת אומר שהמרחק מחיפה לירושלים הוא כמו המרחק מירושלים לחיפה. התנאי השני אומר שמרחק 0 משמעותו שזו אותה הנקודה. התנאי השלישי הוא, כאמור, אי-שויון המשולש שהסברתי את האינטואיציה עבורו למעלה.

השם אגב "אי-שוויון המשולש" גם הוא לא מקרי. במשולש, אורך צלע אחת הוא תמיד ארוך או שווה לסכום אורכי שתי הצלעות אחרות.

 

[arieciub]

תיקון קטן, במשולש אורך צלע אחת קצר או שווה לסכום שתי האחרות

 

[אורי769]

תודה, כמובן

 

[ספי12310]

חשבתי, שאפשר להסביר

... (לא יודע זה נקרא להוכיח).
בין 2 נקודות עובר קו ישר אחד.
במידה והקו הוא שבור, אז הוא יותר ארוך מכיוון שבין 2 נקודות הקו הקצר ביותר הוא המרחק ביניהן.
מכיוון שהקו הוא שבור, והוא עובר בין 2 נקודות הוא יותר ארוך.
(כאן: הייתי מוסיף "מ.ש.ל.").
כמובן שהוא שווה אם המשולש שנוצר הוא מנוון.
לכן, אי-שוון המשולש מתקיים.
גם אפשר להסביר גם צורות אחרות (כמו מרובע וכו'), שאי-שוויונם זהה לאי-שוויון המשולש.
כי אם נתון קטע של מלבן, הרי הוא יותר קצר משאר קטעי המלבן או כל צורה אחרת. (לפי האקסיומה - בין 2 נקודות עובר קו ישר אחד).

 

[ספי12310]

תמונה

המרחק בין AC + CB
(C נקודת ביניים) קטן מ-
AB.
לפי האקסיומה ה-1 של אוקלידס: בין כל 2 נקודות עובר קו ישר אחד בלד.
הקו ACB הוא שבור ולכן הוא מנוגד לאקסיומה ה-1 של אוקלידס לכן אי-שוויון המשולש מתקיים ולכן הוא ארוך יותר. מש"ל.

 

[אורי769]

כמה הערות

1. אי שויון המשולש במרחב מטרי הוא בפני עצמו אקסיומה.
2. המישור האוקלידי הוא דוגמא למרחב מטרי. יש דוגמאות אחרות לרוב. כדי להוכיח שזה מרחב מטרי אכן צריך ששלוש האקסיומות של מרחב מטרי מתקימות בו ובפרט אי-שוויון המשולש.
3. מה שכתבת אינה הוכחה קבילה לאי-שוויון המשולש. האקסיומה לפיה דרך שתי נקודות עובר קו ישר אחד אינה אומרת דבר לגבי אורכים של קטעים. אף כי הוא נראה פשוט ואינטואיטיבי, ההוכחה שאי שוויון המשולש מתקיימם במישור האוקלידי מצריכה קצת עבודה. למעשה צריך להכיר אי שוויון אחר הנקרא אי-שוויון קושי-שוורץ.

 

[ספי12310]

יש כמה אי-שוויונים של קושי-שוורץ

על איזה בדיוק אני אמור להסתמך?

 

[אורי769]

תשובה

בעקרון יש נוסחים שונים של אותו אי השוויון. במקרה של הנדסת המישור מספיק המקרה הפשוט ביותר האומר ש
(ac + bd <= √(a²+b²)√(c²+d²
אבל בעיקר כדאי להוכיח צריך לדעת איך מוגדר המרחק במישור