שאלה

[Marko Matika]

שאלה

SS1dxdy על תחום D שזהו שני מעגלים מחוברים בעלי רדיוס =1
השאלה שלי האם ערך האינטגרל הוא סכום שטחי המעגלים כלומר 2פאי
ניסיתי לעשות פרמטריזציה של ומעבר לקוארידנות פולריות יוצא לי אינטגרל של מינוס חצי סינוס זווית כפולה dt
בתחום בין 0 ל2פאי וערך האינטגרל הוא 0
אז השאלה שלי מה נכון?

 

[1ca1]

מין הסתם זה תלוי איך המעגלים מחוברים

אם אין ביניהם חיתוך (=לצרכי האינטגרל, החיתוך הוא בעל מידה אפס), אז אתה צודק, אינטגרל על הפונקציה הקבועה 1 נותן לך את השטח.
מצד שני, אני בספק שייתנו סתם תרגיל כזה פשוט.
גם הפרמטריזיציה שבחרת נראית מוזר ביחס לתרגיל כזה...
הגיוני שיהיה זווית כפול, אבל תהיה חייב להתעסק גם ברדיוסים.

 

[Marko Matika]

r=1

המעגלים מחוברים מבחוץ בראשית הצירים

 

[1ca1]

מחוברים מבחוץ?

במקרה זה השטח הוא סכום השטחים, תוך שימוש באדיטיביות של האינטגרל.

אני בספק שזאת השאלה שהתכוונו אליה בתרגיל, היא פשוט טריוויאלית.

 

[Marko Matika]

אכן

זאת באמת היא
רק כיצד יתכן שהפרמטריזציה אינה הצליחה להביא אותי לתוצאה הרצויה שהיא 2 פאי

 

[1ca1]

בין היתר כי לא עשית אינטגרל כפול

אתה רוצה לחשב שטח נכון? לכן האינטגרל צריך להיות dtdr כמו שכתבתי לך בהתחלה.

 

[Marko Matika]

הבנתי היכן טעיתי

לאחר בדיקה נוספת לא מתקבלת פונקציה 1 ולכן השטח אינו סכום שטחי המעגלים
ערך האינטגרל הכפול יוצא 0 בכל אחד מהשדות החלקיים
אגב במקרה זה השדה אינו משמר כי לא הוככנו שלכל מסילה סגורה סביב הנקודות המצוינות (מרכזי המעגלים) ערך האינגטרל הוא 0
כמו כן יש פוטנציאלים של ARCTAN שאינם מוגדרים בתחום הנתון

אני צודק?

 

[Marko Matika]

הנה התרכיל בקבוץ

כאן

 

[1ca1]

זה לא אינטגרל כפול אלא אינטגרל מסילתי

מה שלרוב מתקיים בשאלות מהסוג הזה - מפצלים את השדה לסכום של שני שדות, F1,F2.
אחד מהם משמר פרט לעיגול הימני, אחד משמר פרט לשמאלי.
ולכן האינטגרל על הסכום הוא סכום של אינטגרלים של הלא-משמרים המתאימים.
עכשיו את מה שנשאר, שזה אינטגרל על העיגול עם החור, פותרים או דרך פרמטריזציה ישירה, או דרך גרין, או שסביר להניח שפשוט תקבל את האינדקס של המסילה (שים לב לאוריינטציה של המסילה).
אני מעריך שתקבל אפס בכללי בסוף, כנראה האינדקסים יאפסו זה את זה, אבל כאמור צריך לחשב ולראות.

לגבי סעיף ב, קשה לתת תשובה נכונה בלי שמוגדר שם התחום r שממנו לוקחים את Z, אבל נניח לצורך העניין שזוהי קבוצה כוויצה.
אם כן, פשוט צריך לבדוק את הלמה של פואנקרה (רוטור שווה לאפס).
חשב את הרוטור של השדה G ותבדוק מתי הוא מתאפס.

 

[Marko Matika]

המשך הדיון

כמובן שהתכוונתי לאינטגרל כפול במעבר לפי משפט גרין
לגביי סעיף ב R זה שדה הממשיים,כך לפחות אני חושב שחזי שכתב את השאלה התכוון לזה...
אגב G אינו שדה הוא תחום שעליו מוגדר השדה