בבקשה
דבר ראשון אתה מתבלבל בין סימני איחוד וחיתוך דבר שני יש צורך להוכיח פורמלית
יהי w12 וקטור ב w1 ח w2 יהי w13 וקטור ב w1 ח w3 כעת צריך להראות כי w12+w13 שייך ל w1 ח (w2+w3) כעת W2+W3 תמ"ו וכן w12 נמצא ב W2, w13 נמצא ב W3 ולכן w12+w13 נמצא בסכום כעת w12,w13 נמצאים ב W1 ולכן הם נמצאים גם בחיתוך מ.ש.ל
ברור שההכלה לכיוון השני לא נכונה נסתכל בR^2 כמ"ו מעל R נניח ש W2,W3 ישרים שיפרשו את R^2 (לצורך העניין הצירים y=0,x=0) נניח W1 תמ"ו אחר ממימד 1! כך שהוא לא הצירים (לצורך העניין y=x, ישר בזווית 45 מעלות) כעת W2+W3=R^2, החיתוך שלו עם W1 שמוכל בו הוא פשוט W1 אבל מאחר שהישרים נחתכים רק בראשית, כל חיתוך אחר הוא פשוט האפס, וסכום של החיתוכים הוא אפס כמובן...