אקדמי יום א'

[ani88]

../images/Emo205.gif אקדמי - יום א ../images/Emo205.gif

 

[ani88]

חבורות

1. G חבורת p סופית, N תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית של G צ"ל חיתוך של N ומרכז של G אינו איבר היחידה ---------------------------------------------------------------- 2. G חבורה סופית. לכל p ראשוני המחלק את הסדר של G ולכל שני איברים בG מתקיים zzz (ab)^p=a^p*b^p zzz צ"ל מרכז של G אינו טריוויאלי

 

[ani88]

הקפצה

קפיצ קפוצ .........................

 

[dot27]

../images/Emo42.gifאקדמי יום א' ../images/Emo42.gif

 

[dot27]

אלגברה לינארית ?

שאלה 5 מהקישור המצורף. לדעתי אפשר להוכיח ככה : מצד אחד כל וקטור מהאגף השמאלי נמצא בW1 היות ו בW1UW2 כל וקטור מהחיתוך הזה שייך לW1, וכל וקטור מהחיתוך W1UW3 שייך לW1, והיות וW1 תת מרחב גם סכום הוקטורים נמצא בW1. מצד שני כל וקטור מW1UW2 מוכל בW2 וכל וקטור מW1UW3 מוכל בW3, ולכן כל הוקטורים שמקיימים את הנ"ל שייכים כמובן ל: W2+W3 ול W1 וזה בדיוק החיתוך של W1U(W2+W3) dddd עכשיו זה נראה לי הוכחה די בנפנופי ידיים ואני אפילו לא בטוח אם היא נכונה. מה בנוגע להכלה בכיוון השני?

 

[1ca1]

בבקשה

דבר ראשון אתה מתבלבל בין סימני איחוד וחיתוך דבר שני יש צורך להוכיח פורמלית

יהי w12 וקטור ב w1 ח w2 יהי w13 וקטור ב w1 ח w3 כעת צריך להראות כי w12+w13 שייך ל w1 ח (w2+w3) כעת W2+W3 תמ"ו וכן w12 נמצא ב W2, w13 נמצא ב W3 ולכן w12+w13 נמצא בסכום כעת w12,w13 נמצאים ב W1 ולכן הם נמצאים גם בחיתוך מ.ש.ל​

ברור שההכלה לכיוון השני לא נכונה נסתכל בR^2 כמ"ו מעל R נניח ש W2,W3 ישרים שיפרשו את R^2 (לצורך העניין הצירים y=0,x=0) נניח W1 תמ"ו אחר ממימד 1! כך שהוא לא הצירים (לצורך העניין y=x, ישר בזווית 45 מעלות) כעת W2+W3=R^2, החיתוך שלו עם W1 שמוכל בו הוא פשוט W1 אבל מאחר שהישרים נחתכים רק בראשית, כל חיתוך אחר הוא פשוט האפס, וסכום של החיתוכים הוא אפס כמובן...

 

[dot27]

הבנתי, תודה!

התכוונתי לכתוב בסוף ההודעה שU מסמן חיתוך, לא חשבתי על ח עקרונית אבל ההוכחה שכתבתי נכונה? סה"כ זה מה שאתה כתבת רק פחות פורמלי, ז"א זה הכיוון?

 

[1ca1]

בערך

רק שחוץ מהבלאגן שלך, לא ברור מה זה מצד אחד מצד שני, מדובר על הכל חד כיוונית, לא על שיוויון (כי כבר הראיתי שלא תיתכן הכלה דו כיוונית) אז צריך לקחת איבר כללי מצד שמאל, להראות שהוא נמצא בצד ימין, וואללה נגמר התרגיל...

 

[ani88]

פתחתי אחד והוא עבר כבר לעמוד 2

אולי המנהלים יכולים לשרשר אותו לכאן?

 

[crimsonbull]

שתי שאלות באלגברה לינארית.

1. יהי k ערך עצמי של האופרטור T. הוכח שf(k)ddd הוא הערך העצמי של הפונקציה f(T)ddd. 2. הראה שלמטריצות דומות, יש את אותם ערכים עצמיים. בקשר ל-1, ניסיתי לעבוד לפי ההגדרה, T(v)=kv f(T(v))=f(kv)ddd אבל מדובר פה בפוקנציה ולכן אני לא חושב שמתקיים כאן: f(kv)=kF(v)ddd או f(kv)=f(k)f(v)dd, או שאני טועה כאן? בקשר לשאלה השניה, הלכתי לפי ההגדרה גם כן: A=P^-1BP לכן,

|tI-A|=|tI-P^-1BP|​

אני צריך להראות ש:

|tI-A|=|tI-B|​

אני חושב שאני צריך להשתמש בזהות:

|A||B|=|AB|​

אבל לא בטוח כיצד ליישם אותו כאן. תודה מראש לעונים.

 

[1ca1]

מה?

1. לא נכון עבור f כללית, רק עבור פולינומים ובמרחבים ממימד סופי (עדיף תמיד לקרוא במקרים כאלה לT מטריצה, או המטריצה שמייצגת את האופרטור, כי כשאומרים סתם אופרטור בד"כ מתכוונים להעתקה בין מרחבי פונקציות, שבד"כ אינם ממימד סופי וזה בלאגן אחר לחלוטין) 2. לגבי מה ששאלת, מספיק להראות שלשתי המטריצות אותו פולינום אופייני

|tI-A|=|tI-P^-1BP|=|P^-1(tI)P-P^-1BP|=|P^-1(tI-B)P|=|P^-1||P||tI-B|=|tI-B|​

 

[crimsonbull]

אז נניח בקשר ל-1 שזה

עבור פולינומים ואו מרחב ממימד סופי, איך מוכיחים את הטענה? בקשר ל-2, אני מבין, זה באמת קל וחבל שלא חשבתי על כך.

 

[1ca1]

אני אתן קצת הדרכה

דבר ראשון תראה שאם t ע"ע של A, אז t^n ע"ע של A^n אח"כ, אם t ע"ע של A, אז zt ע"ע של zA ובסוף רק נשאר להראות לגבי הביטוי המוכלל של הפולינום anx^n+...+a1x+a0, זה לא קשה במיוחד (תטפל בכל ביטוי בנפרד)

 

[crimsonbull]

מה זה ע"ע?

 

[crimsonbull]

אה אוקיי הבנתי ערך עצמי.

בקשר לפולינום, f(T)=a_nT^n+...+a0I=a_n*(kv)^n+...+a0I אבל איך זה מראה ש f(k) הוא ערך עצמי של f(T)

 

[crimsonbull]

תגובה.

בוא נראה אם הבנתי:

f(T)=anT^n+...+a0I=ank^nv^n+...+a0I f(k)=ank^n+...+a0

עכשיו איך אני מראה ש-

f(T)=f(k)v​

מה שאני הגעתי:

f(T)=(v^n+...+1)[(f(k)-(f(k)-ank^n)-...-(f(k)-...-a1k)]​

 

[1ca1]

הבנת חלקית

רק תזכיר לי מה זה להעלות וקטור בחזקת n?!?! תחשוב מהו הוקטור העצמי המתאים לA^n..., זה דיי ברור...

 

[crimsonbull]

תגובה.

הוקטור העצמי נתון לפי הערך העצמי של המטריצה כך:

(kI-A^n)v=0 (kI)v=(A^n)v​

אז (kI)v הוא הוקטור העצמי, נכון?

 

[1ca1]

מה?

אם v ו"ע של ע"ע t,כלומר Av=tv, מה הקשר לA^n?

 

[crimsonbull]

האם הוקטור העצמי של t הוא גם הו"ע

של t^n?