שרשור חידות

[yak141]

איך תעביר קוטר האנך לקוטר אחר?

אם נתון לך קוטר AB, אינך יכול "סתם" להעביר קוטר האנך לו אלא אתה צריך להסביר ולהוכיח שהקוטר שהעברת אנך לו. משום, שקוטר מתחיל מנקודה על המעגל, עובר דרך המרכז וממשיך לנקודה אחרת על המעגל, כיצד תוכל להסביר מדוע בדיוק שתי הנקודות האלה על המעגל הן אלה שנותנות קוטר האנך לקוטר הקודם ולא הנקודות שלצידן?

 

[hagrisha]

../images/Emo50.gifבעית הוכחה בהנדסה

הוכח שמשולש בו אורכי צלעות יוצרים סדרה חשבונית וגבהים על הצלעות אלה יוצרים סדרה הנדסית אז המשולש הוא שווה צלעות.

 

[טלמון סילבר]

קשה לקרוא לזה "בהנדסה" ../images/Emo13.gif

צלעות המשולש בסדר (אולי) עולה:

a, a+at, a+2at ( t >= 0 )​

מתאימים להם הגבהים בסדר (אולי) יורד (כי מכפלת כל זוג צלע-גובה קבועה - שווה לשטח המשולש כפול 2):

hq², hq, h hq²a = hqa(1+t) = ha(1+2t) ( q >= 1 ) q² = q(1+t) = 1+2t q = 1+t (1+t)² = 1+2t 1+2t+t² = 1+2t t² = 0 t = 0 q = 1​

 

[טלמון סילבר]

דרך "נוספת"

הצלעות בסדר (אולי) עולה: a3 ,a2 ,a1. הגבהים בסדר (אולי) יורד: h3 ,h2 ,h1.

a2 = (a1 + a3)/2 h2 = sqrt(h1 * h3) a2 * h2 = sqrt(h1 * h3) * (a1 + a3)/2 = a1 * h1 = a3 * h3 = = sqrt(a1 * h1 * a3 * h3) (a1 + a3)/2 = sqrt(a1 * a3)​

וכידוע (וקל מאוד להוכיח), הממוצע החשבוני של שני מספרים חיוביים שווה לממוצע ההנדסי שלהם רק כאשר שני המספרים שווים.

 

[hagrisha]

../images/Emo45.gifטוב מאוד

 

[דיזוני]

איך פותרים

אשה רחצה כלים בנהר. פקח שהיה באזור שאל אותה: "מדוע יש לך כל כך הרבה כלים לרחוץ?" "כי היתה מסיבה בבית" , ענתה האשה "כמה אנשים השתתפו במסיבה?" "אינני יודעת, אבל, כל שני אנשים השתמשו בכלי משותף למרק וכל ארבעה אנשים השתתפו בכלי משותף לבשר היו לי בסה"כ 65 כלים לרחוץ." כמה אנשים השתתפו במסיבה?

 

[דיזוני]

?

מ ק פ י ץ

 

[דיזוני]

אולי כאן אקבל תשובה

אשה רחצה כלים בנהר. פקח שהיה באזור שאל אותה: "מדוע יש לך כל כך הרבה כלים לרחוץ?" "כי היתה מסיבה בבית" , ענתה האשה "כמה אנשים השתתפו במסיבה?" "אינני יודעת, אבל, כל שני אנשים השתמשו בכלי משותף למרק וכל ארבעה אנשים השתתפו בכלי משותף לבשר היו לי בסה"כ 65 כלים לרחוץ." כמה אנשים השתתפו במסיבה?

 

[Ferma]

../images/Emo58.gif

אם אני לא טועה אז 104 אנשים.

 

[Ferma]

../images/Emo58.gif

כולל את הצלחות של האישה עצמה (שאכלה לבד) זה 88 אנשים

 

[dot27]

כאן תוכלו למצוא את הפתרון לתרגיל ד'

מהשק הראשון נשים על המשקל מטבע אחד משני שתיים וכן הלאה. נשקול את כמות המטבעות ששמנו ולפי השארית נוכל לדעת מאיזה שק נלקחו המטבעות המזויפים.

 

[אלעדק]

צריך עזרה בלוגריתמים

(q log2(x+1)>4\log2(x+1 2 הוא בסיס הלוג התשובה לפי הספר היא q 0<x<1 מישהו?

 

[Calius]

נסיון

קודם כל: בטוח שזה הניסוח? מכיוון שאם נציב x=15 (מה שהספר אומר שאינו פתרון טוב) נקבל ש:

log2(15+1)>4/log2(15+1) ==> log2(16) > 4/log2(16) ==> 4 > 4/4​

שזה דווקא נכון. ובכלל... ככל ש- x גדל כך גדל גם הצד השמאלי. גם המכנה של הצד הימני גדל, ולכן הצד הימני קטן. אז אם אי-השיוון מתקיים עבור x מסויים ודאי שהוא מתקיים עבור x-ים גדולים ממנו. לפתרון כמו שאני מבין אותו: נציב

y=log2(x+1)​

עכשיו יש לנו משוואה

y > 4/y​

חלק לשני תחומים (y גדול מ- 0 ו- y קטן מ- 0) וקבל כי הפתרון הוא y>2 או y<-2. נציב חזרה:

log2(x+1)>2 ==> 2^(log2(x+1)) > 2^2 ==> x+1 > 4 ==> x>3 log2(x+1)<-2 ==> 2^(log2(x+1)) < 2^-2 ==> x+1 < -1/4 ==> x<-3/4​

 

[rainbow16]

אתה צודק, אבל...

שכחת תחום הגדרה, שמה שבתוך הלוג גדול מ0. אז הת.ה. הוא שx גדול ממינוס 1. ככה שהתשובה הסופית היא x>3 וx בין מינוס 1 למינוס 3/4. אבל... נציב בתחום השני מספר באי-שיוויון:

log2(-0.9+1)>4/log2(-0.9+1) -3.321>4/-3.321 -3.321>-1.204​

אבל זה לא מתקיים... בכל מקרה אני הגעתי לתשובה סופית x>3...

 

[אלעדק]

זה בדיוק מה שיצא לי

אחרי שפתרתי את התרגיל 3 פעמים ויצא לי אותו דבר חשבתי שאולי יש טעות בפתרון שבספר, מה שמתברר כנכון.. תודה רבה.

 

[טלמון סילבר]

טעות גם בספר וגם בתשובה שלכם

נציב כאמור: לוגריתם של x+1 בבסיס 2 שווה y. תחום ההגדרה:

1. x+1 > 0 x > - 1 2. y ≠ 0 x + 1 ≠ 1 x ≠ 0​

עכשיו נפתור:

y > 4/y y - 4/y > 0 (y² - 4)/y > 0 1. y² - 4 > 0 y > 0 y > 2 x+1 > 4 x > 3 2. y² - 4 < 0 y < 0 - 2 < y < 0 1/4 < x+1 < 1 - 3/4 < x < 0​

והפתרון הסופי הוא שני התחומים הבאים:

x > 3 - 3/4 < x < 0 ​

 

[קפטן ברני]

../images/Emo58.gif

יש בתרגיל בעיה. אני אדגים איך פותרים אותו. נגדיר: מס' האנשים: x. צלחות מרק: x/2. צלחות בשר: x/4. מס' צלחות והבשר ביחד הוא 65.

x/2+x/4=65​

עושים מכנה משותף, נפתרים מהמכנה, ומקבלים:

3x=260​

אבל 260 לא מתחלק ב-3!

 

[rainbow16]

ככה בדיוק אני עשיתי...

אבל הגעתי לאותה בעיה.... אז מה הפתרון? יש התחכמות כלשהי בשאלה?

 

[קפטן ברני]

נראה לי שיש טעות בשאלה.

 

[hagrisha]

../images/Emo4.gifהפתרון העקום שלי...

84 אנשים.הם השתמשו ב63 כלים,נוסיף לזה סיר שממנו לקחו מרק וסיר שממנו לקחו את הבשר.ביחד 65 כלים.