מכניקה 13/11/2013

idaneqw

New member
moment of inertia -> mass element dm?

אני מעוניין לחשב את מומנט האינרציה של חישוק דק. לא ברור לי כיצד עלי להגדיר את אלמנט המסה dm? אני מצפה לקבל כי המומנט יהיה MR^2.
 
תשובה

אם נתונה המסה הכוללת של החישוק, יש לחשב את המסה ליחידת אורך של ההיקף:
zz dm = M/(2πR)*R*dθ = M/(2π)*dθ zz
אורכו של אלמנט המסה הוא R*dθ.
האינטגרציה כאן יחסית פשוטה כי כל האלמנטים מרוחקים מרחק R מציר הסיבוב:
zz ∫R²*dm = M*R²∫dθ/(2π) = M*R² zz
האינטגרציה היא היקפית, כלומר על הזווית מ - 0 עד שני פאי.
 

idaneqw

New member
מומנט ותנע זוויתי.

סעיף ב'.

סעיף ב':
ברור לי כי מומנט הכוח זו הנגזרת של התנע הזוייתי לפי הזמן. כאשר L=I*w, אם אני אגזור את w לפי הזמן אגיע לאלפא (תאוצה זויתית) ומשם איך אני ממשיך?
אם אפשר לתת פתרון עם הסבר בבקשה.

סעיף ג' הוא קליל ברגע שאדע את מומנט הכוח.
 
תשובה

למעשה זה שקול לשאלה של מתקף ותנע בתנועה קווית.
מסעיף א' ידוע מומנט ההתמד I וגם המהירות הזוויתית w. ידוע לנו שנדרשת הגדלה של התנע הזוויתי בשיעור נתון שנסמנו ΔL.
בהקבלה לתנועה קווית, שינוי התנע יהיה שווה למתקף המומנט:
zz M*Δt = ΔL zz
 

idaneqw

New member
לא ברור לי מה עשית.

אני יודע את השינוי בתנע הזוויתי. והזמן. איך אני ממשיך מכאן? או לחלופין כאשר אני גוזר את התנע הזוייתי ומגיע לתאוצה זוייתית?
 
המשך

בדומה למשוואת מתקף ותנע של תנועה קווית:
zz F*Δt = m*ΔV = ΔP zz
רשמתי באופן דומה את משוואת מתקף ותנע של התנועה הזוויתית:
zz M*Δt = I*Δw = ΔL zz
ה - Δt נתון והוא 10 שניות. כמו כן, נתון השינוי של התנע הזוויתי (זהו ה - ΔL שרשמתי בתשובתי הקודמת).
כדי לחשב את המומנט הנדרש עושים:
zz M = ΔL/Δt zz
zz ΔL = 1J*sec zz שזה נתון. מכאן מחשבים את M.
 

idaneqw

New member
מומנט אינרציה.

אשמח לפתרון עם הסבר ואם אפשר להסביר כיצד להשתמש במשפט שטיינר על מנת לפשט את הבעיה הזו ?
 
תשובה

מחשבים את מומנט האינרציה של כל מוט לחוד, בעזרת משפט שטיינר.
המוט שעל ציר y:
כיוון שכל חלקיו מרוחקים מרחק שווה מציר הסיבוב, ניתן לחשבו כמסה נקודתית ולכן:
zz Iy = M*(½*L)² = ¼*M*L² zz
המוט שעל ציר z:
ניתן לחשבו לפי מומנט האינרציה ביחס למרכזו, ואז לפי משפט שטיינר להעביר את החישוב לקצהו:
zz Iz = M*L²/12 + M*(½*L)² = ⅓*M*L² zz
המוט שעל ציר x:
באותו אופן, לפי משפט שטיינר - משתמשים במומנט סביב המרכז ומעתיקים אותו לציר המקביל:
zz Ix = M*L²/12 + M*(½*L)² = ⅓*M*L² zz
 

idaneqw

New member
ציר x לא ברור.

סביב איפה מחשבים את מומנט ההתמד ההתחלתי לפני ביצוע ההזזה עם שטיינר?
 

idaneqw

New member
הוכחה יחס מסות ?

כיצד ניתן להוכיח כי יחס המסות שווה ליחס בשטחים בגוף המחורר. כיוון ששטח החור הוא רבע מהשטח הכולל גם היחס של המסות הם 1:4.
כיצד אפשר להוכיח זאת מתמטית?
 
השאלה לא ברורה

האם הצפיפות (מסה ליחידת שטח) אחידה?
אם כן, אז יחס השטחים הוא יחס המסות.
 
תודה, אבל לא מצאתי התייחסות לסעיף ד

האם הוא אפס? או שהוא בכל זאת 2*T2?
תודה.
 
הסבר

הכוח בחוט שמחזיק את הגלגלת אינו אפס, אלא שווה לסכום המתיחויות בחוטים המחוברים לשתי המסות התלויות. הנה מה שכתבתי אז:

"כאשר הכוח F אינו קיים, המערכת מאיצה - לכן תיאורטית לא מתקיים כלל שוויון המתיחויות כמו ב - א' וב'. אבל, תאוצות כל המסות שוות בערך המוחלט כי הן קשורות זו לזו. וגם, אם הגלגלות חסרות מסה, ניתן להניח שהכוחות בחבלים בשני הצדדים כן שווים. רושמים שוב את משוואות הכוחות, והפעם סכום הכוחות על כל גוף שווה למסתו כפול התאוצה:
zz T1 - m*g = m*a zz
zz T1 - m*g - T2 = -m*a zz
zz T2 - m*g*sinα = -m*a zz
שים לב שהכיוונים החיוביים נשארו כמו בסעיפים הקודמים, לכן מופיע מינוס לתאוצה במשוואה השנייה והשלישית.
פותרים את שלוש המשוואות כנ"ל ומתקבלים התאוצה וכוחות המתיחות."
 
למעלה