שרשור בית ספר - יום שלישי

[Cervical1]

שרשור בית ספר - יום שלישי

מרים את הכפפה

 

[Cervical1]

חשבון דיפרנציאלי

ראיתי את הפתרון של התרגיל באתר פותרים, אבל הבעיה אצלי היא טיפה יותר מהותית. איך אני למשל גוזר את הביטוי הבא: 8sin^2x - cos4x במילים: 8 כפול סינוס איקס (סינוס בחזקת 2), פחות קוסינוס 4 איקס. מה החוקיות גזירה של זה?

 

[Fingertip]

שני שמושים בכלל השרשרת.

כזכור, כלל ההרכבה אומר לנו שבשביל לגזור פונקציה של פונקציה של x, עלינו להעזר בנוסחה:

[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)​

ראשית, נראה כיצב ניתן לגזור בעזרתו את sin²x. נסמן:

f(x) = x² g(x) = sin x​

נשים לב שמתקיים:

f(g(x)) = f(sin x) = (sin x)² = sin²x​

ולכן כדאי לנו להשתמש בכלל השרשרת. מכיוון שמתקיים:

f'(x) = 2x g'(x) = cos x​

הרי שלפי כלל השרשרת:

(sin²x)' = (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) = f'(sin x)cos x = 2sin x cos x = sin 2x​

בא נראה אם הבנת. נסה לגזור את cos 4x, ואחרי זה לחשב את הנגזרת כולה. אהד.

 

[Cervical1]

האמת שלא הבנתי כלום

אני אומר לך מה אני מכיר ואולי תבין למה אני מתכוון: ניקח את מה שאתה לקחת: 8Sin^2x זה כמו 8(sinx)^2 שזה בעצם 2, כפול הביטוי בסוגריים, כפול הנגזרת הפנימית של הביטוי בסוגריים (?לא) 8*2*(sinx)(cosx)=8*2sinxcosx=8*sin2x זה לפחות מה שהצלחתי להבין ממה שרשמתי במחברת. אבל הביטוי שהשני הוא -cos4x למה הוא יוצא 4sin4x ולא 4sinx ???

 

[Fingertip]

מה לא הבנת בהסבר שלי...?

עד איזו שורה אתה מבין? מאיזו שורה אתה כבר לא מבין? אהד.

 

[Cervical1]

שוב, התבלגן פה הכל

מצ"ב

 

[Fingertip]

אני צריך ללכת לחתונה...

אז בקיצור: 1. אתה יכול לגזור את 8sin²x בעזרת כלל המכפלה, אם תציג אותו כך: 8sin x sin x. אבל זו לא הדרך שבה נקטתי. 2. שים לב שהשיטה ששמת עובדת רק עבור פונקציות שהן חזקות. כלומר, פונקציות מהצורה (fⁿ(x למשל:

sin²x, (5x + 3)^65, (8x^2 - 4x + 2)^-3​

והשיטה שתארת ב-1 (עם מכפלה) עובדת רק עבור מכפלות.הפונקציה cos 4x אינה אף אחת משתי הצורות האלה: היא לא חזקה של שום דבר, והיא גם לא מכפלה של שום דבר (ה-4 נמצא בתוך הקוסינוס). הדרך היחידה(*) לעשות זאת היא באמצעות כלל השרשרת (כלל ההרכבה) שמוסבר בהודעה הראשונה שלי. לפיכך אני מציע לך לעבור עליה שורה שורה ולנסות להבין. אני משער שאת המילה הראשונה ("כזכור") אתה מבין. מכיוון שאמרת שאתה לא מבין את כל ההודעה, היכנשהו באמצע אתה תקוע. נסה להסביר איפה בדיוק נתקעת ואני (או משהו אחר בפורום) יסביר לך את זה, וכך תוכל להבין את כל ההודעה. אחרי שתבין את כל ההודעה תוכל בקלות לגזור פונקציות כמו:

sin²(3x² - 4x + 2), e^(sin x + 4x)​

ואפילו cos 4x. זה יהיה כל כך פשוט שאפילו לא תבין איפה הסתבכת... בהצלחה! אהד. (*) זו לא באמת הדרך היחידה, אבל בתיכון זו פחות או יותר הדרך היחידה.

 

[אלמוני היחידה]

שלך?../images/Emo3.gif, שיהיה במזל טוב.

 

[Fingertip]

צב"ר...

ביום החתונה שלי לשבת פה בפורום ולענות על שאלות במתמטיקה? אני חושש שלא יהיה לי זמן לכך (או בכלל ריכוז). אהד.

 

[טלמון סילבר]

נראה מה יהיה כתוב מחר

בכרטיסו האישי

 

[Cervical1]

אתה גדול!

באמת! תודה על הסבלנות. למרות שלא זכור לי כלל ההרכבה, הבנתי את השימוש בנוסחא. זו הנוסחא היחידה?

 

[Fingertip]

זו אחת הנוסחאות החשובות בחדו"א

והעובדה שהיא מקיימת מראה עד כמה "פשוטה" פעולת הגזירה. אם תלמד מתמטיקה טיפה יותר לעומק, אתה תראה שלא תמיד המצב כל כך יפה. בתרגיל הזה הנוסחאות הדרושות הן: כלל השרשרת, נגזרת הסכום:

(f + g)' = f' + g'​

והמקרה הפרטי של נגזרת המכפלה כאשר אחת הפונקציות היא קבוע:

(af(x))' = af'(x)​

אהד.

 

[Cervical1]

זו אחת מהן בעצם?

cosf(x)= -sinf(x)*f'(x ?

 

[Fingertip]

כן.

שים לב שזה פשוט מקרה פרטי של כלל השרשרת. אם נסמן:

g(x) = cos x​

אזי:

cos f(x) = g(f(x))​

ואז לפי כלל השרשרת (שים לב שתפקידי f ו-g התחלפו):

[cos f(x)]' = [g(f(x))]' = g'(f(x))f'(x) = -sin (f(x))f'(x)​

כמו שרשמת. אהד.

 

[Cervical1]

../images/Emo45.gif תודה!

 

[XDluli]

בעיות אחוזים

אני נתקעת בבעיות אחוזים ואני פשוט לא מצליחה להבין איך לפתור אותן, מה הנוסחה ולמה זה ניהיה ועוד ואז כפל. אם מישהו יוכל להסביר לי בהרחבה את בעיית האחוזים הבאה, אני אשמח (בבקשה להסביר כל שלב ושלב). 1. מחירו של מוצר מסויים היה 30 ש"ח. פעם אחת עלה מחירו באחוז מסויים. לאחר מכן עלה מחירו ב-5% יותר מאשר בפעם הקודמת.לאחר שתי עליות המחירים הנ"ל היה מחירו 45 ש"ח. באיזה אחוז עלה המחיר לראשונה? תודה לעוזרים.

 

[Cervical1]

התשובה היא 42.8?? משהו כזה?

 

[XDluli]

../images/Emo90.gifרשום שהתשובה היא 30%

 

[XDluli]

התבלבלתי פה

 

[XDluli]

../images/Emo90.gifהתשובה היא 20% (ככה רשום)