שלשות פיתגוריות - שאלה

[aetzbar]

שלשות פיתגוריות - שאלה

האם קיימת שיטת חיפוש של שלשות פיתגוריות, המתאימות למשולשים בעלי צורה קרובה למשולש ישר זווית ושווה ניצבים ? לדוגמה - השלשה 20,21,29 תודה למשיבים

 

[YAJerusalem]

בהחלט:

a=u^2-v^2 b=2uv c=u^2+v^2

 

[aetzbar]

בחרתי את המספרים 12 ו 8 ,

וקיבלתי את השלשה 80 , 192, 208 תוצאה זו מתאימה למשולש של 68 מעלות, 22 מעלות , ו 90 מעלות, ואני מחפש שיטה להגיע למשולשים קרובים ל 45 מעלות, 45 מעלות, ו90 מעלות. האם קיימת שיטה המאפשרת חיפוש "תחום מסוים" של שלשות פיתגוריות ?

 

[aetzbar]

הבהרה של השאלה המקורית..

האם ניתן לדעת מראש איזה שני מספרים לבחור, כדי לקבל משולש "קרוב" למשולש שווה ניצבים ?

 

[YAJerusalem]

אה, עכשיו הבנתי מה רצית, בבקשה:

A1=3, B1=4, C1=5 P=A+B+C А(n+1)=2Р-В zz В(n+1)=2Р-А zz С(n+1)=2Р+С zz 3,4,5 20,21,29 119,120,169 696,697,985 4059,4060,5741 23660,23661,33461 137903,137904,195025 ...

 

[DarkCrystal]

אתה יכול להסביר מאיפה הגיעו

נוסחאות הנסיגה האלה?

 

[talbach]

מצטרף לשאלה

 

[YAJerusalem]

ישירות מפתגרוס עצמו

לפחות כך נטען באתר בו מצאתי אותן.. האמת שהנוסחאות האלה עוד יותר מדהימות! הן נותנון סדרות של שלשות פיתגוראיות עם כל הפרש בין ניצבים שנרצה. בשביל שאלה של עצבר, שמתי שלושה ראשונה (3,4,5) עם הפרש ניצבים =1 אז הנוסחאות מוציאות כל השלשות כאלה אבל אם נתחיל עם שלושה אחרת, למשל 5, 12, 13 (הפרש ניצבים =7) אז נקבל כל השלשות בהן הפרש ניצבים 7: 48, 55, 73 וכו' אין לי כרגע הוכחה/פיתוח של זה אך אם מישהו מעוניין, אפשר לנסות

 

[aetzbar]

תשובה מקורית ומעניינת נתת, הדורשת

עיון ולימוד, כל הכבוד.

 

[srulikbd]

מה שמפתיע זה לא שההפרש נשמר

פשוט עושים חיסור ורואים שהוא נשמר...אלא שככה עוברים דרך כל השלשות המקיימות את ההפרש

אתה בטוח? ואיזה אתר זה? תודה

אם זה באמת עובר דרך כל השלשות בעלות ההפרש שנבחר בתחילה, אז זה האלגוריתם לעבור דרך כל השלשות הפיתוגאריות! (נראה לי אין נוסחת מחץ לכולם נכון?) אם כן אז מגניב

 

[עריסטו]

עוד דרך מעניינת שנותנת את כל השלשות

מתחילים מהשלשה

(3,4,5)​

לכל שלשה

(a,b,c)​

יש שלוש בנות:

(-a+2b+2c,-2a+b+2c,-2a+2b+3c) (a+2b+2c,2a+b+2c,2a+2b+3c) (a-2b+2c,2a-b+2c,2a-2b+3c)​

כך מקבלים של שלשה פרימיטיבית פעם אחת.

 

[YAJerusalem]

האתר היה ברוסית אז לא יעזור לך

ולגבי כל השלשות - שני דברים: א. אי אפשר לעבור בעזרת הנוסחאות האלה על כל השלשות כי אתה צריך לתת את השלשה החדשה עם הפרש חדש כדי להתחיל את השרשרת ב. לעומת זאת, יש אלגוריתם בשביל כל השלשות, כתבתי אותו בהודעה ראשונה שלי בנושא זה

 

[aetzbar]

ואולי קיימת שיטה שממנה ניתן לדעת

בכמה שלשות ישתתף מספר נבחר כלשהו? דוגמה: המספר 27 משתתף עם 364 ו 365 והוא גם משתתף עם 120 ו 123 אבל הוא גם משתתף עם 45 ו 36 אני שואל את השאלה הזו לאור פיתוח שיטה גיאומטרית למציאת שלשות פיתגוריות, המבוססת על ציור של מסגרת ריבועית בעלת היקף פנימי והיקף חיצוני. צלע המסגרת החיצונית מביעה יתר, צלע המסגרת הפנימית מביעה ניצב, והניצב האחר מתקבל משורש מספר השטח של המסגרת עצמה. בשיטה זו ניתן לזהות את כמות הפעמים שבה משתתף המספר 27, ביצירת שלשה פיתגורית.

 

[עריסטו]

האם כוונתך היא שאותו "מספר נבחר"

צריך להיות ניצב? אותו שהוא יכול להיות גם היתר?

 

[aetzbar]

שלום עריסטו - הבחירה היא עבור ניצב

 

[עריסטו]

אם כך - תשובה לשאלתך

לשם המחשה אפתור עבור a=20 (כלומר ערך אחד הניצבים הוא 20, וברצוננו למצוא את האפשרויות לניצב האחר וליתר).

a^2+b^2=c^2 a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b) 400=(c+b)(c-b)​

כעת עלינו למצוא בכמה דרכים ניתן להביע את המספר 400 כמכפלת שני מספרים טבעיים בעלי אותה זוגיות (חייבת להיות להם אותה זוגיות כדי ש - b,c יהיו שלמים). את זה אפשר למצוא מתוך הפירוק של 400 לגורמים ראשוניים:

400=2^4*5^2​

לכן מחלקי 400 הם המספרים מהצורה

2^a*5^b​

כאשר a,b שלמים לא-שליליים, a קטן או שווה ל - 4, b קטן או שווה ל - 2. מקרים בהם a=0 או a=4 לא טובים בשבילנו בגלל מה שכתבתי על הזוגיות. לכן a צריך להיות בין 1 ל - 3. לכן יש ל - 400 בדיוק תשעה מחלקים מתאימים (3 אפשרויות ל- a כפול שלש אפשרויות ל - b). את תשעת המחלקים האלה נחלק לזוגות שמכפלתם 400. ל - 20 אין "בן זוג" והוא גם לא מעניין אותנו כי נקבל ממנו צלע ששווה לאפס. לכן 20 משמש כניצב בארבעה משולשים. בקיצור, אם לא טעיתי, במקרה הכללי תעשה כך: יש לך ניצב a ואתה רוצה למצוא בכמה שלשות פיתגוריות הוא מופיע. מוצאים את הפירוק של a^2 לגורמים ראשוניים:

a^2=2^m*3^n*5^p*...​

אם m>0 מחשבים:

x=(m-1)(n+1)(p+1)...​

אם m=0 מחשבים:

x=(n+1)(p+1)...​

ומספר הדרכים המבוקש הוא

(x-1)/2​

 

[עריסטו]

המחשה עם הדוגמה שלך (27)

27^2=3^6​

כאן m=0 ולכן x=7 ומספר השלשות בהן 27 מופיע כניצב הוא 3, כמו שכתבת.

 

[aetzbar]

אני הגעתי לתוצאה זו בדרך גיאומטרית

והייתי מבקש להעמיד את הדרך הזו לבקורת משתתפי הפורום. נושא זה של שלשות פיגוריות הוא חלק של מאמר, הנושא את השם "המספר המידלגי ומבט מחודש על משפט פיתגורס"

 

[DarkCrystal]

אתה יכול להסביר בקצרה מה כתבת שם?

 

[aetzbar]

תיארתי דרך פשוטה ויעילה להשגת שלשות

פיתגוריות,והיא מבוססת על ציור פשוט של "מסגרת ריבועית" הנושא פשוט ביותר, מוחשי ומובן.