שלשות פיתגוריות - שאלה

aetzbar

New member
שלשות פיתגוריות - שאלה

האם קיימת שיטת חיפוש של שלשות פיתגוריות, המתאימות למשולשים בעלי צורה קרובה למשולש ישר זווית ושווה ניצבים ? לדוגמה - השלשה 20,21,29 תודה למשיבים
 

aetzbar

New member
בחרתי את המספרים 12 ו 8 ,

וקיבלתי את השלשה 80 , 192, 208 תוצאה זו מתאימה למשולש של 68 מעלות, 22 מעלות , ו 90 מעלות, ואני מחפש שיטה להגיע למשולשים קרובים ל 45 מעלות, 45 מעלות, ו90 מעלות. האם קיימת שיטה המאפשרת חיפוש "תחום מסוים" של שלשות פיתגוריות ?
 

aetzbar

New member
הבהרה של השאלה המקורית..

האם ניתן לדעת מראש איזה שני מספרים לבחור, כדי לקבל משולש "קרוב" למשולש שווה ניצבים ?
 

YAJerusalem

New member
אה, עכשיו הבנתי מה רצית, בבקשה:

A1=3, B1=4, C1=5 P=A+B+C А(n+1)=2Р(n)(n) zz В(n+1)=2Р(n)(n) zz С(n+1)=2Р(n)(n) zz 3,4,5 20,21,29 119,120,169 696,697,985 4059,4060,5741 23660,23661,33461 137903,137904,195025 ...
 

YAJerusalem

New member
ישירות מפתגרוס עצמו

לפחות כך נטען באתר בו מצאתי אותן.. האמת שהנוסחאות האלה עוד יותר מדהימות! הן נותנון סדרות של שלשות פיתגוראיות עם כל הפרש בין ניצבים שנרצה. בשביל שאלה של עצבר, שמתי שלושה ראשונה (3,4,5) עם הפרש ניצבים =1 אז הנוסחאות מוציאות כל השלשות כאלה אבל אם נתחיל עם שלושה אחרת, למשל 5, 12, 13 (הפרש ניצבים =7) אז נקבל כל השלשות בהן הפרש ניצבים 7: 48, 55, 73 וכו' אין לי כרגע הוכחה/פיתוח של זה אך אם מישהו מעוניין, אפשר לנסות
 

aetzbar

New member
תשובה מקורית ומעניינת נתת, הדורשת

עיון ולימוד, כל הכבוד.
 

srulikbd

New member
מה שמפתיע זה לא שההפרש נשמר

פשוט עושים חיסור ורואים שהוא נשמר...אלא שככה עוברים דרך כל השלשות המקיימות את ההפרש
אתה בטוח? ואיזה אתר זה? תודה
אם זה באמת עובר דרך כל השלשות בעלות ההפרש שנבחר בתחילה, אז זה האלגוריתם לעבור דרך כל השלשות הפיתוגאריות! (נראה לי אין נוסחת מחץ לכולם נכון?) אם כן אז מגניב
 
עוד דרך מעניינת שנותנת את כל השלשות

מתחילים מהשלשה
(3,4,5)​
לכל שלשה
(a,b,c)​
יש שלוש בנות:
(-a+2b+2c,-2a+b+2c,-2a+2b+3c) (a+2b+2c,2a+b+2c,2a+2b+3c) (a-2b+2c,2a-b+2c,2a-2b+3c)​
כך מקבלים של שלשה פרימיטיבית פעם אחת.
 

YAJerusalem

New member
האתר היה ברוסית אז לא יעזור לך

ולגבי כל השלשות - שני דברים: א. אי אפשר לעבור בעזרת הנוסחאות האלה על כל השלשות כי אתה צריך לתת את השלשה החדשה עם הפרש חדש כדי להתחיל את השרשרת ב. לעומת זאת, יש אלגוריתם בשביל כל השלשות, כתבתי אותו בהודעה ראשונה שלי בנושא זה
 

aetzbar

New member
ואולי קיימת שיטה שממנה ניתן לדעת

בכמה שלשות ישתתף מספר נבחר כלשהו? דוגמה: המספר 27 משתתף עם 364 ו 365 והוא גם משתתף עם 120 ו 123 אבל הוא גם משתתף עם 45 ו 36 אני שואל את השאלה הזו לאור פיתוח שיטה גיאומטרית למציאת שלשות פיתגוריות, המבוססת על ציור של מסגרת ריבועית בעלת היקף פנימי והיקף חיצוני. צלע המסגרת החיצונית מביעה יתר, צלע המסגרת הפנימית מביעה ניצב, והניצב האחר מתקבל משורש מספר השטח של המסגרת עצמה. בשיטה זו ניתן לזהות את כמות הפעמים שבה משתתף המספר 27, ביצירת שלשה פיתגורית.
 
האם כוונתך היא שאותו "מספר נבחר"

צריך להיות ניצב? אותו שהוא יכול להיות גם היתר?
 
אם כך - תשובה לשאלתך

לשם המחשה אפתור עבור a=20 (כלומר ערך אחד הניצבים הוא 20, וברצוננו למצוא את האפשרויות לניצב האחר וליתר).
a^2+b^2=c^2 a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b) 400=(c+b)(c-b)​
כעת עלינו למצוא בכמה דרכים ניתן להביע את המספר 400 כמכפלת שני מספרים טבעיים בעלי אותה זוגיות (חייבת להיות להם אותה זוגיות כדי ש - b,c יהיו שלמים). את זה אפשר למצוא מתוך הפירוק של 400 לגורמים ראשוניים:
400=2^4*5^2​
לכן מחלקי 400 הם המספרים מהצורה
2^a*5^b​
כאשר a,b שלמים לא-שליליים, a קטן או שווה ל - 4, b קטן או שווה ל - 2. מקרים בהם a=0 או a=4 לא טובים בשבילנו בגלל מה שכתבתי על הזוגיות. לכן a צריך להיות בין 1 ל - 3. לכן יש ל - 400 בדיוק תשעה מחלקים מתאימים (3 אפשרויות ל- a כפול שלש אפשרויות ל - b). את תשעת המחלקים האלה נחלק לזוגות שמכפלתם 400. ל - 20 אין "בן זוג" והוא גם לא מעניין אותנו כי נקבל ממנו צלע ששווה לאפס. לכן 20 משמש כניצב בארבעה משולשים. בקיצור, אם לא טעיתי, במקרה הכללי תעשה כך: יש לך ניצב a ואתה רוצה למצוא בכמה שלשות פיתגוריות הוא מופיע. מוצאים את הפירוק של a^2 לגורמים ראשוניים:
a^2=2^m*3^n*5^p*...​
אם m>0 מחשבים:
x=(m-1)(n+1)(p+1)...​
אם m=0 מחשבים:
x=(n+1)(p+1)...​
ומספר הדרכים המבוקש הוא
(x-1)/2​
 
המחשה עם הדוגמה שלך (27)

27^2=3^6​
כאן m=0 ולכן x=7 ומספר השלשות בהן 27 מופיע כניצב הוא 3, כמו שכתבת.
 

aetzbar

New member
אני הגעתי לתוצאה זו בדרך גיאומטרית

והייתי מבקש להעמיד את הדרך הזו לבקורת משתתפי הפורום. נושא זה של שלשות פיגוריות הוא חלק של מאמר, הנושא את השם "המספר המידלגי ומבט מחודש על משפט פיתגורס"
 

aetzbar

New member
תיארתי דרך פשוטה ויעילה להשגת שלשות

פיתגוריות,והיא מבוססת על ציור פשוט של "מסגרת ריבועית" הנושא פשוט ביותר, מוחשי ומובן.
 
למעלה