שירשור במתמטיקה - יום רביעי

[עינב1כ]

שירשור במתמטיקה - יום רביעי ../images/Emo41.gif ../images/Emo41.gif

שירשור מתמטיקה אחרון לשנה האזרחית...

מחר בלילה שנת 2004... עינב

 

[עינב1כ]

שאלה מס' 1 בסדרות:

מבגרות ינואר 1968.. בערך שנה אחרי מלחמת ששת הימים.. השאלה: בסידרה חשבונית ובסידרה הנדסית עולה שוים האיברים הראשונים וכל אחד שווה ל2, וכמו כן שווים גם האיברים השלישיים. האיבר השני בסידרה החשבונית גדול ב4 מהאיבר השני בסידרה ההנדסית. מצא את שלושת האיברים הראשונים בכל אחת מהסדרות הנ"ל תשובות בספר: חשבונית: 18, 10, 2 הנדסית: 18, 6, 2 ניסיתי לפתור זאת בדרך הסטנדרטית ולא הצלחתי לצערי.

אשמח להסברים ודרך פתרון תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Fingertip]

נסיון...

על מנת לפתור את השאלה נעזר בתכונת הממוצע החשבוני של אברי הסדרה החשבונית:

a1 + a3 = 2a2​

ובתכונת הממוצע ההנדסי של אברי הסדרה ההנדסית:

a1·a3 = a2²​

כעת, נסמן ב-a, b, c את אברי הסדרה ההנדסית (לפי הסדר). לפי הנתונים, a=2 ואברי הסדרה החשבונית הם a, b+4, c. אם נציב זאת במשוואות הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי נקבל:

2 + c = 2(b+4) 2c = b²​

נכפול ב-2 את המשוואה הראשונה ונציב בה את המשוואה השנייה:

4 + 2c = 4b + 16 4 + b² = 4b + 16 b² - 4b -12 = 0 (b-6)(b+2) = 0 b = 6 or b = -2​

מכיוון שהסדרה ההנדסית עולה, בהכרח b = 6. מכאן אפשר בקלות למצוא את שאר האברים. מקווה שעזרתי, אהד.

 

[עינב1כ]

תודה רבה אהד היקר. הבנתי ו..

הבנתי הכל.. תודה רבה רבה אהד היקר. רק ש.. אני זוכרת שבתרגילים קודמים הייתי פותרת כך: אם בסדרה החשבונית גדול ב4 מההנדסית.. אז צריך להפחית 4 מהחשבונית כדי ליצור השוואה.. או שאני מבולבלת ? זה מה שעושים בתרגילים כאלו.. לא? אשמח להסברים תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Fingertip]

מה ההבדל?

יש לי a ו-b ונתון ש-a גדול מ-b ב-4. לכן:

a - 4 = b b + 4 = a​

זו בדיוק אותה המשוואה אם נעביר אגפים. לי פשוט היה יותר נוח לקרוא לאבר של ההנדסית b בשביל לא להתחיל לפתוח סוגריים בריבוע. אהד.

 

[עינב1כ]

אוקיי אהד היקר. הבנתי.

אני חושבת שהבנתי. THANKS A LOT עינב

 

[עינב1כ]

שאלה מס' 2 בסדרות:

שאלה מבגרות 4 יח"ל קיץ תשכ"ח - יוני 1968.. בסידרה חמישה מספרים. שלושת המספרים הראשונים בסידרה הנ"ל מהווים סידרה הנדסית, ואילו ארבעת האיברים האחרונים, שסכומם שווה ל30, מהווים סידרה חשבונית. מכפלת האיבר השני בחמישי בסידרה הנ"ל בת חמישה איברים שווה ל36. מצא את חמשת האיברים של הסידרה. תשובה בספר: 5,3,6,9,12 או 16,12,9,6,3 ניסיתי ולא הצלחתי. אשמח להסברים ודרך פתרון תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Fingertip]

בבקשה

נסמן את הפרש הסדרה החשבונית ב-d. לפי הנתון מתקיים:

a2 + (a2 + d) + (a2 + 2d) + (a2 + 3d) = 30 4a2 + 6d = 30 2a2 + 3d = 15 (1)​

בנוסף מתקיים:

a2·a5 = 36 a2(a2 + 3d) = 36 (2)​

מ-(1) קיבלנו:

3d = 15-2a2​

ואם נציב זאת ב-(2) נקבל:

a2(a2 + 15 - 2a2) = 36 a2(15 - a2) = 36 a2² - 15a2 + 36 = 0 (a2 - 12)(a2 - 3) = 0​

ולכן a2 = 12 או a2 = 3. בכל מקרה אפשר למצוא את d וכך לקבל את ארבעת האברים האחרונים של הסדרה. מהם אין בעיה להסיק את האבר הראשון (שכן שלושת האברים הראשונים יוצרים סדרה הנדסית). מקווה שעזרתי, אהד.

 

[עינב1כ]

תודה רבה אהד היקר. הבנתי ו...

יש לי רק בעיה עם A1 בשתי הסדרות: קיבלתי סידרה עם: 12, 9, 6, 3 ו 3, 6, 9 , 12 כתבתי ששלושת האיברים הראשונים יוצרים סדרה הנדסית (נתון) ובעזרת זה אני יכולה למצוא. לא הבנתי כיצד. אשמח להסברים תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Fingertip]

יש טעות בספר...

או שלא העתקת נכון. בסדרה הראשונה מקבלים שהמנה היא 2 (6/3 = 2, ולכן מנת הסדרה ההנדסית היא 2), ולכן האבר הראשון בסדרה הוא 3/2 = 1.5. את כתבת שהוא 5. כנראה שיש טעות אצלך או בספר. בסדרה השנייה נקבל שהמנה היא 9/12 = 3/4. ולכן האבר הראשון הוא:

12*4/3 = 16​

כנדרש. מקווה שעזרתי, אהד.

 

[עינב1כ]

הבנתי אהד היקר. אכן טעות בספר.

או שחסר תו בהדפסה.. כי כתוב בתשובה 5 ורואים נקודה קטנה כזו משמאל.. יתכן שחסר 1.. זה מקור הטעות לגבי ה16 הבנתי תודה רבה רבה אהד היקר

עינב

 

[עינב1כ]

שאלה עם לוגריתמוס:

יוני 81: נתונה הפונקציה א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? ב. האם גרף הפונקציה חותך את ציר הX ? נמק. תשובות בספר: א. X גדול מ0 X שונה מ1 ב. לא אשמח להסברים ודרך פתרון. תודה רבה רבה רבה עינב

 

[עינב1כ]

הנה הפונקציה בGIF:

SORRY.. כנראה לא הייתי מרוכזת ולא צירפתי קובץ עינב

 

[Fingertip]

בבקשה../images/Emo70.gif

א. ראשית, בכלל בלי לחשוב אנחנו אומרים שבסיס הלוגריתם חייב להיות חיובי ושונה מ-1, כלומר:

0<x≠1​

כעת, עבור ערכי x הללו צריך להתקיים:

x² +x +1 > 0​

אבל נשים לב שאם x>0 אז בהכרח זה מתקיים (סכום של שלושה מספרים חיוביים) ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x>0 ושונה מ-1. ב. גרף הפונקציה יחתוך את ציר ה-x אם הפונקציה מקבלת את הערך 0 בנקודה מסויימת. כלומר:

log [x] (x² +x + 1) = 0 x² +x +1 = x^0 x² + x = 0 x(x+1) = 0​

ולכן x=0 או x=-1. בכל מקרה קיבלנו ערכי x שאינם בתחום ההגדרה, ולכן הפונקציה אינה חותכת את ציר ה-x כלל. מקווה שעזרתי, אהד.

 

[עינב1כ]

תודה רבה אהד היקר, הבנתי ו..

לגבי X בריבוע ועוד X ועוד 1 גדול מאפס.. ניסיתי לפתור זאת כמשוואה ריבועית.. וקיבלתי דיסקרימננטה שלילית.. אני מעדיפה פתרון אלגברי.. כי אני בטח במבחן לא "יבריק" לי (בהכרח מתקיים סכום של שלושה מספרים חיוביים) כיצד פותרים באופן אלגברי את סעיף א' בבקשה? חוץ מזה הבנתי את כל התרגיל. תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Fingertip]

אי אפשר באופן אלגברי.

יוצאים לך שורשים מגעילים. את יכולה אולי לשים לב שמתקיים:

x² + x + 1 = x² -2x + 1 + 3x = (x-1)² + 3x​

וזה מספר אי שלילי ועוד מספר חיובי -- גם כן מספר חיובי. אבל שוב זה אותו המשחק. אהד.

 

[עינב1כ]

אוקיי הבנתי אהד היקר. תודה רבה

 

[עינב1כ]

שאלה נוספת עם לוגריתמוס:

א. מצא עבור אילו ערכי X מוגדרת הפונקציה: ב. פתור את המשוואה: תשובה: א. X גדול שווה מ1/3 או X קטן שווה ממינוס 1/3 ב. 2, 8 אשמח להסברים ודרך פתרון ניסיתי לפתור ולא הצלחתי. תודה רבה רבה רבה עינב

 

[Fingertip]

בבקשה../images/Emo70.gif

א. נתחיל מבפנים ונצא החוצה. הביטוי הכי קטן שיכול להיות לא מוגדר בפנים זה:

log [1/3] x²​

על מנת שהביטוי יהיה מוגדר x² חייב להיות חיובי, ולכן x≠0. הביטוי הבא שאליו יש להתייחס הוא כל מה שנמצא תחת סימן השורש. אסור לביטוי זה להיות שלילי, כלומר:

2-log[⅓]x² ≥ 0 2 ≥ log[⅓]x² 2 ≥ 2log[⅓]

1 ≥ log[⅓]

≥ ⅓ x ≥ ⅓ or x ≤ -⅓​

אם נחתך את זה עם ערכי x שקיבלנו קודם, נקבל את התוצאה הדרושה. ב. אני מקווה שזה ברור:

1 + 2Log[x]2·Log[4](10-x) = 2/Log[4]x /aLogb = Log bª 1 + Log[x]4·Log[4](10-x) = 2/Log[4]x /Log[a]b = 1/Loga 1 + Log[4](10-x)/Log[4]x = 2/Log[4]x /·Log[4]x Log[4]x + Log[4] (10-x) = 2 /Loga + Logb = Log (a·b) Log[4]x·(10-x) = Log[4]16 /Log x = Log y => x = y x(10-x) = 16 10x - x² = 16 x² - 10x + 16 = 0 (x-8)(x-2) = 0​

ולכן x=8 או x=2. נשים לב שבכל אחד משני הפתרונות המשוואה מוגדרת ולכן אין צורך להשמיט אף פתרון. מקווה שעזרתי, אהד.

 

[Fingertip]

בלעכס.

איפה שאת רואה

צריך להיות רשום | x| (כלומר, ערך מוחלט) אהד.