שטחים במשושה

הפרבולה1

Active member
בתוך משושה משוכלל בוחרים נקודה ומחברים אותה לקודקודיו, מקבלים 6 משולשים.
צובעים את המשולשים לסרוגין בצהוב כחול.
צריך להוכיח שהשטח הכחול שווה לשטח הצהוב.

6area.jpg
 
נבנה על הצלעות הצהובות של המשושה משולשים שווי צלעות כפי חוץ (כלומר נשלים את המשושה למשולש שווה צלעות). "קל להוכיח" שאם בוחרים נקודה בתוך משולש שווה צלעות אז סכום מרחקי הנקודה מצלעות המשולש הוא קבוע ושווה לגובה המשולש. לכן סכום גובהי המשולשים הכחולים קבוע ושווה לגובה המשולש, באותו אופן סכום גובהי המשולשים הצהובים קבוע ושווה לגובה המשולש, לכן סכום שטחי המשולשים הכחולים שווה לסכום שטחי המשולשים הצהובים.
 

הפרבולה1

Active member
נבנה על הצלעות הצהובות של המשושה משולשים שווי צלעות כפי חוץ (כלומר נשלים את המשושה למשולש שווה צלעות). "קל להוכיח" שאם בוחרים נקודה בתוך משולש שווה צלעות אז סכום מרחקי הנקודה מצלעות המשולש הוא קבוע ושווה לגובה המשולש. לכן סכום גובהי המשולשים הכחולים קבוע ושווה לגובה המשולש, באותו אופן סכום גובהי המשולשים הצהובים קבוע ושווה לגובה המשולש, לכן סכום שטחי המשולשים הכחולים שווה לסכום שטחי המשולשים הצהובים.
אכן, זה גם ההוכחה שהגעתי אליה.
 

AnarchistPhilosopher

Well-known member
נבנה על הצלעות הצהובות של המשושה משולשים שווי צלעות כפי חוץ (כלומר נשלים את המשושה למשולש שווה צלעות). "קל להוכיח" שאם בוחרים נקודה בתוך משולש שווה צלעות אז סכום מרחקי הנקודה מצלעות המשולש הוא קבוע ושווה לגובה המשולש. לכן סכום גובהי המשולשים הכחולים קבוע ושווה לגובה המשולש, באותו אופן סכום גובהי המשולשים הצהובים קבוע ושווה לגובה המשולש, לכן סכום שטחי המשולשים הכחולים שווה לסכום שטחי המשולשים הצהובים.
קל להוכיח? אז תוכיח! :cool:
 

הפרבולה1

Active member
קל להוכיח? אז תוכיח! :cool:
הוכחה
נתון משולש שווה צלעות עם צלע a וגובה h אז שטח המשולש הוא S=h*a/2
תהיה נתונה נקודה בתוך המשולש נוריד ממנה אנכים h1 h2 h3 לצלעות ונחבר אותה לקודקודים , קיבלנו 3 משולשים צהוב סגול ירוק עם גבהים h3 h2 h1 בהתאמה.
שטח המשולש הגדול הוא סכום המשולשים צהוב סגול ירוק ... מפה "קל לראות" ש h=h1+h2+h3 שזה מה שצריך להוכיח. 3m.jpg
 

הפרבולה1

Active member
הוכחה
נתון משולש שווה צלעות עם צלע a וגובה h אז שטח המשולש הוא S=h*a/2
תהיה נתונה נקודה בתוך המשולש נוריד ממנה אנכים h1 h2 h3 לצלעות ונחבר אותה לקודקודים , קיבלנו 3 משולשים צהוב סגול ירוק עם גבהים h3 h2 h1 בהתאמה.
שטח המשולש הגדול הוא סכום המשולשים צהוב סגול ירוק ... מפה "קל לראות" ש h=h1+h2+h3 שזה מה שצריך להוכיח. צפה בקובץ המצורף 40731
ואגב זה נכון לכל מצולע משוכלל : בהנתן נקודה כלשהיא בתוכו אז סכום המרחקים שלה לכל אחד מהצלעות הוא קבוע.
ההוכחה מתבססת על חישובי שטחים כמו במשולש.
 
ובאופן כללי אם מחלקים מצולע משוכלל בעל nk צלעות למשולשים ב-n צבעים: אם k=2 הטענה ברורה ואם k>2 משלימים את המצולע למצולע משוכלל בעל k צלעות.
בנוסף יש את משפט הפיצה:
 
נערך לאחרונה ב:
למעלה