שאלות במתמטיקה

[sarit9960]

שאלות במתמטיקה

שלום, יש לי בחינה חשובה השבוע ואשמח שתעזרו לי בשאלות הבאות שנתקעתי בהן..

ענייני צבעים.
הוכיחו כי אם כל הנקודות במישור צבועות באדום או כחול, אז קיים ריבוע שיש לו מספר זוגי של
קודקודים אדומים.



חתך הזהב.
נתון משולש ישר זווית כך שיחס ארכי הניצבים שווה ל-2. הוכיחו כי היחס של אורך הגובה שיוצא
מהזווית הישרה לאורך היתר שווה ל-
2
5
(שבר של 2 לחלק ל5)



תכונה מעניינת של מספר 3.
הוכיחו כי לכל מספר טבעי 2 ≤ n מתקיים האי-שוויון


2 בחזקת n

+

2^n

> קטן מ

3 בחזקת n



למה של שפרנר.
ריבוע מחולק למשולשים כך שלכל זוג של משולשים יש צלע שלמה משותפת או קודקוד אחד
משותף או אף נקודה משותפת. בנוסף נתון כי אין קודקודי המשולשים שנמצאות על צלעות
הריבוע, אך לא בקודקודיו. הוכיחו כי מספר המשולשים הינו זוגי.



מחכה לתשובות, אשמח מאוד לעזרתכם, ערב נעים ותודה

 

[Practical Realist]

תשובה ל - 2

 

[Practical Realist]

תשובה ל - 3

 

[sarit9960]

לגביי שאלה 3

היי שלום, דבר ראשון תודה רבה על העזרה אני מאוד מעריכה זאת

בשאלה 2 הבנתי, תודה רבה

לגביי שאלה שלוש התבלבלת.. זה 2 בחזקת אן פלוס אן בחזקת 2
תוכל לעזור לתקן זאת? על מנת שהשאלה תהיה תואמת לשאלה שבה נתקעתי?

 

[Practical Realist]

כן, הנה מתוקן

הערה: כדי לכתוב נוסחאות כאן כדאי להשתמש ב"אותיות יישור" כמו ה - zz הרשומות כאן:
zz 2^n+n^2 < 3^n zz
ואז הסימנים מופיעים בסדר הנכון.

 

[sarit9960]

לגביי השלה

שאלה נוספת לגביי השאלה, האם הפירוק שלך בפתיחת נכון? משום שלי יצא משהו שונה

שורה רביעית מלמעלה מ-מה שצריך להוכיח

 

[Practical Realist]

נראה לי שכן

הפירוק שעשיתי הוא כך:
zz 2^(k+1) + (k+1)^2 = 2^1*2^k + k^2+2k+1 = zz
zz = 2*2^k + k^2 + 2k + 1 = 2^k + 2^k + k^2 + 2k + 1 = zz
zz = 2^k + k^2 + 2^k + k + k + 1 zz

 

[אורי769]

לגבי הלמה של שפרנר

אישית אני מכיר את הלמה של שפרנר והיא לא מתייחסת לטריאנגולציה (חלוקה למשולשים) של ריבוע, אלא לטריאנגולציה של משולש. מכל מקום יכול להיות שיש כאן ניסוח שקול. מה שבטוח שמה שכתבת אינו עברית - כלומר המשפט הבא "בנוסף נתון כי אין קודקודי המשולשים שנמצאות על צלעות הריבוע, אך לא בקודקודיו." ממש אינו ברור ומצריך ניסוח ברור ומדוייק.

 

[1ca1]

אין הבדל בין משולש לריבוע

אתה יכול לחתוך ריבוע באמצע לזוג משולשים נכון? ואם יש לך טריאנגולציה למשולש, אתה יכול לשקף אותה ולקבל טריאנגולציה לריבוע (ואם יש לך טריאנגולציה לריבוע, אתה חותך באמצע ומוסיף את נקודות החיתוך, הבעיה היחידה היא להבין מדוע אפשר עדיין לקבל צביעה חוקית במקרה זה בכל תת-משולש, אני מאמין שזה אפשרי).

גם זה משפט טופולוגי בעיקרו, והרי משולש הומיאומורפי לריבוע.

 

[אורי769]

אבל מה השאלה

אתה צודק בעניין ההומיאומורפיזם ובכלל, כל מה שכתבת יודע לי היטב. המשפט הבא "בנוסף נתון כי אין קודקודי המשולשים שנמצאות על צלעות הריבוע, אך לא בקודקודיו." אינו משפט בעברית, למרות שכל אחת מהמלים בו היא מילה בעברית. לכן, גם אם מדובר כאן בנוסח אחר של הלמה של שפרנר עבור ריבועים, אני מתקשה מאד להבין מהו אותו הנוסח. אם אתה מכיר את הנוסח הזה אשמח לשמוע אותו. אבל יותר טוב מכך יהיה שפותחת השאלה תעשה את המאמץ ותנסח את שאלתה בצורה שברור מה צריך להוכיח. אחרי הכל, אנחנו מנסים לעזור לחבר'ה לנסח תשובות במתמטיקה. צריך להתחיל מלדעת לנסח מה השאלה.

 

[1ca1]

לא קראתי את השאלה

אבל חלק מהדרישות בלמה של ספרנר היא "קונפיגורציה חוקית" שמשמעה היא שזוג קווים נחתך אך ורק בקודקוד צבוע, ואין לך "חיתוכים בלי קודקודים".

אני מעריך שהיא התכוונה לדרישה דומה כזו לצרכי ריבוע (שאותה קל לדמיין).

לגבי ניסוח, גם אני שוגה לא מעט בניסוחים.
תתפלא, גם מצאתי שגיאת ניסוח של ז'אן בורגיין בעברי.

אחד הדברים שהכי מנסים להתקדם אליו בתורת המספרים כיום הוא משהו שנקרא השערת chowla (היה מתמטיקאי הודי די ידוע שעבד במכון למחקר מתקדם).

ההשערה אומרת ש- zz |sum mu(x)|<=o zz
כאשר mu היא פונקציית מוביוס, והסכום הוא על x<=n.

רק מה? כשצ'אולה ניסח את ההשערה, הוא כתב O גדול בטעות, דבר שהופך אותה לטריוויאלית (פונקציית מוביוס היא חסומה).
לעיתים הניסוח הוא הכל. [ההשערה ה"אמיתית" היא עדיין פתוחה כמעט לחלוטין, פרט לכמה דברים חדשים מלפני שנתיים בערך].

 

[טלמון סילבר]

הצעה לשאלה הראשונה

נסמן תשע נקודות:
x x x
x x x
x x x
ננסה לצבוע אותן בשני הצבעים האלה. יש סה"כ 512 אפשרויות, אבל כמובן לא צריך לעבור על כולן.
תשע הנקודות האלה יוצרות שישה ריבועים. האם יש אפשרות לבחור את הצבעים כך, שבכל אחד מששת הריבוים יהיו או שלושה קודקודים אדומים או אחד בלבד?

 

[טלמון סילבר]

למשל ככה

נסמן את צבעי תשע הנקודות הללו כך:

x11, x12, x13
x21, x22, x23
x31, x32, x33

כאשר כל אחד מהמשתנים האלה שווה 1 אם הנקודה צבועה באדום, ושווה 0 אם הנקודה צבועה בכחול.
נניח בדרך השלילה שלכל הריבועים יש מספר אי-זוגי של קודקודים:

:ארבעת הריבועים הקטנים
x11 + x12 + x21 + x22 = אי זוגי
x12 + x13 + x22 + x23 = אי זוגי
x21 + x22 + x31 + x32 = אי זוגי
x22 + x23 + x32 + x33 = אי זוגי
:הריבוע הגדול
x11 + x13 + x31 + x33 = אי זוגי

:נחבר את כל אגפי שמאל ואת כל אגפי ימין

2x11 + 2x12 + 2x13 + 2x21 + 4x22 + 2x23 + 2x31 + 2x32 + 2x33 = אי זוגי

התקבלה סתירה: באגף שמאל התקבל מספר זוגי, ובאגף ימין מספר אי-זוגי.

 

[טלמון סילבר]

תיקון והערות

במקום הפסקה "נניח בדרך השלילה שלכל הריבועים יש מספר אי-זוגי של קודקודים" צריך להיות "נניח בדרך השלילה שלכל הריבועים (בקונסטרוקציה הזו) יש מספר אי-זוגי של קודקודים אדומים".

בקונסטרוקציה הזו יש ריבוע נוסף, שלא השתמשנו בו בהוכחה: x12,x21,x23,x32 - אמצעי צלעות הריבוע הגדול.

דרך אחרת היא כמו שהצעתי בהתחלה. להתבסס דווקא על שני הריבועים הגדולים, בלי x22, לראות את כל האפשרויות בהן יש להם קודקוד אדום אחד או שלושה קודקודים אדומים - בגלל הסימטריה אין כל כך הרבה אפשרויות. ולכל אחת מאפשרויות אלה לבדוק באיזה צבע אפשר לצבוע את x22 כך שלא יתקבל אף ריבוע קטן עם 0 או 2 או 4 קודקודים אדומים.

 

[עעעערררר]

לאחרון

בהנחה שיש n משולשים:
כמה צלעות יש סה"כ, אם סופרים בנפרד צלעות של כל משולש?
לכמה משולשים משותפת כל צלע?
כמה צלעות יש באמת?