שאלה על מסלול צריח על לוח שחמט

[עריסטו]

שאלה על מסלול צריח על לוח שחמט

אם צריח מטייל על לוח שחמט בעל m שורות ו - n עמודות, כך שהוא מבקר פעם אחת בכל משבצת ובצעד האחרון חוזר לנקודת ההתחלה, אזי אורך המסלול שלו הוא mn. המסלול מורכב מקטעים מאוזנים ומאונכים. נדמה לי שהאורך הכולל של הצעדים המאוזנים מתחלק ב - 4 אם ורק אם m אינו מתחלק ב - 4 ו - n אי-זוגי. לא הצלחתי להוכיח את זה. מישהו יכול להוכיח את זה?

 

[Ferma]

יש כאן בעיה יסודית...

הבט על לוח שחמט. אתה לבן. נתבונן בצריח הלבן על א1. נגדיר מסלול שעונה לדרישות. הבחירה שלי היא המסלול המוגדר מהטורים א ו-ב. כלומר 16 משבצות בסה"כ. מהו האורך הכולל של הצעדים המאוזנים? מסלול כנדרש יהיה צא1-->צא8-->צב8-->צב1-->צא1. במקרה כזה, סכום האורכים של הצעדים המאוזנים שהצריח עשה הוא 4. מ-א8 ל-ב8 זה 2 ומ-ב1 בחזרה לנקודת ההתחלה א1 זה עוד 2. נתבונן באותו הלוח כשהצריח שוב ב-א1. נסובב את הלוח ב-90 מעלות כך שעכשיו אותו הלוח מוגדר מהמספרים 1-8 בתור הטורים ומהאותיות א-ב בתור השורות. לצורך הנוחות| נסמן את הטורים והשורות בסימוני שחמט רגילים. כלומר אותו הלוח הוא עכשיו שתי השורות הראשונות של לוח שחמט רגיל אבל עכשיו המשבצת הימנית הקיצונית היא לבנה. מייד תווכח שעם לוח כזה, האפשרות היחידה של הצריח לבצע את המשימה היא בדיוק אותה הדרך שעשה פעם שעברה; ובסימונים החדשים: צא1-->צח1-->צח2-->צא2-->צא1. ומכיוון שהפכנו את הלוח, היכן שהצריח עשה קודם צעדים מאוזנים באורך של 4; הוא עושה עכשיו צעדים מאוזנים באורך של 14. וזה אותו הלוח, רק סובבנו אותו. הגדר את הבעיה יותר בדיוק

 

[עריסטו]

הסבר

אורך המסלול מ-א8 ל-ב8 הוא 1 ולא 2. כאשר מסובבים את הלוח האורך הכולל של הצעדים המאוזנים משתנה. נכון. אז מה? בלוח הראשון שנתת, m=8, n=2, והאורך הכולל של הקטעים המאוזנים הוא 2. בלוח השני שנתת, m=2, n=8, והאורך הכולל של הקטעים המאוזנים הוא 14. שני המקרים מתאימים לטענה: האורך הכולל של הקטעים המאוזנים מתחלק ב - 4 אם ורק אם n אי-זוגי ו-m אינו מתחלק ב-4.

 

[עריסטו]

אם זה עדיין לא מובן

אסתפק בהוכחה למקרה הפרטי הבא: צריח מבצע מסלול סגור לוח שחמט רגיל, כך שהוא מבקר פעם אחת בכל ערוגה. צריך להוכיח: לא ייתכן שסכום הקטעים המאוזנים בטיול יהיה שווה לסכום הקטעים המאונכים.

 

[עריסטו]

הסבר עם ציור

בתמונה - מסלול צריח סגור על לוח שחמט רגיל, המבקר פעם אחת בכל ערוגה. כאן האורך הכולל של הקטעים המאוזנים הוא 30. האם תוכלו להוכיח שלא קיים מסלול צריח סגור על לוח שחמט רגיל, המבקר פעם אחת בכל ערוגה, ושבו האורך הכולל של הקטעים המאוזנים מתחלק ב - 4?

 

[DallyLama]

סתם לי לב שאתה מתעסק המון עם שחמט

אפשר לשאול מה העניין הגדול?

 

[עריסטו]

אותו עניין כמו בכל דבר אחר...

 

[DallyLama]

אה אוקי

דרך אגב, ממש סליחה על שגיאות הכתיב הנוראיות שלי, אני לפעמים מקליד מהר מדי ולא קורא לאחר מכן את ההודעות שלי. עמכם סליחה.