אני מניח שכבר עשית קורס ראשון (ואולי יותר) באנליזה וראית הוכחות פורמליות של התכנסות עם אפסילונים וכו'. זה כל מה שיש כאן.
למעשה אתה צריך להוכיח כאן שני דברים:
אם xn --> x וגם yn --> y אז zn --> z.
אם zn --> z אז xn --> x וגם yn --> y.
בא אני אעשה כיוון אחד ואתה את השני:
נניח xn --> x וגם yn --> y. כלומר
לכל e>0 קיים N1 שלכל n>N1 מתקיים q |xn-x|<e
לכל e>0 קיים N2 שלכל n>N2 מתקיים q |yn-y|<e
יהי e>0. ניקח N1 המתאים ש-e0 = e/2 וניקח N2 המתאים ל-e0 = e/2. כלומר אם {n>max{N1,N2 אז
q |xn-x|<e0 וגם q |yn-y|<e0.
לכןן
q |zn-z| =< |xn-x| + |yn-y| =< 2e0 = e
את הכיוון הזה אכן עשיתי בעצמי, ואפילו באותה השיטה (לא שיש כאן יותר מידי ברירות)
הפתרון שלי לכיוון השני הוא כזה:
נניח zn --> z כלומר
לכל e>0 קיים N1 שלכל n>N1 מתקיים q |zn-z|<e
בפרט עבור (e=e*sqrt(2) (q
>= |q |xn-x|<= |xn-x| + |yn-y| =<sqrt(2)|zn-z
e*sqrt(2) q
 
אותו דבר עם |yn-y|
 
האם הפתרון נכון?
