שאלה בטריגנומטריה במישור

[yosiabtbol]

שאלה בטריגנומטריה במישור

שלום. אשמח אם מישהו כאן יוכל להעלות פיתרון מלא לתרגיל המצורף. תודה רבה מראשש יוסי

 

[A12351]

לפני שאני עונה לך

התשובה ל א היא: K בין 3 ל שורש 5 או בין מינוס שורש 5 ל מינוס 3 נכון?

 

[A12351]

בעע רגע...

תראה העקרון שבתרגיל זה להפעיל 3 משפטי קוסינוסים (על כל זווית) בטא בכל אחד מהמקרים את קוסינוס הזווית, אז (היות ואתה צריך זווית בין 90 ל 180 ,לא כולל!) תצטרך שכל קוסינוס יהיה בין ל 0 ל 1- (לא כולל) ולבסוף תקבל בכל מקרה תקבל אי שוייון של K לבסוף תקבל 3 תוצאות של אי שוויונים, תבצע "או" ביניהם וזהו... תרגיל לא רע

 

[טלמון סילבר]

כמובן לא נכון ../images/Emo13.gif

 

[yosiabtbol]

לטלמון סילבר

התוכל בבקשה לצרף פיתרון שלך לשאלה הנ"ל? אנא עשה זאת בציור ולא ע"י כתיבה בלבד.. תודה רבה לך מראש יוסי

 

[טלמון סילבר]

פתרון א'

וראשית - הערה: לא "קטלתי" את דרך הפתרון הנכונה שהציע קודמי - הוא סה"כ שכח להעיף את הפתרון השלילי

עם זאת, לפתרון סעיף א' לא נדרשת טריגונומטריה. התנאי ההכרחי והמספיק לכך שמשולש יהיה קהה-זווית, הוא שסכום ריבועי שתיים מצלעותיו קטן מריבוע הצלע השלישית. נתון, שאורכי הצלעות שווים: t, 2t, kt אם כך, המשולש יהיה קהה-זווית בכל אחד משלושת המקרים הבאים:

1. t² + (2t)² < (kt)² 2. t² + (kt)² < (2t)² 3. (2t)² + (kt)² < t²​

מכיוון שאורך אחת הצלעות שווה t, אנו יודעים ש-t חיובי, וכנ"ל גם t² (גדול מ-0), ולכן אפשר לצמצם את t² בכל האי-שוויונים. בנוסף, אי-השוויון השלישי בלתי אפשרי. גם נציין, ש-k חייב להיות חיובי, כי kt הוא אורך אחת הצלעות. תנאי הכרחי נוסף הוא, שאורכי שלוש הצלעות יקיימו את "כלל המשולש": סכום כל שתי צלעות, גדול מהצלע השלישית:

t + 2t > kt t + kt > 2t 2t + kt > t​

וגם כאן אפשר לצמצם את הכל ב-t החיובי, וגם כאן אי השוויון השלישי מיותר, היות והוא מתקיים תמיד. אז ככה. חייב שיתקיימו שני התנאים:

1 + 2 > k 1 + k > 2 1 < k < 3​

ואחד משני התנאים הבאים:

:פתרון ראשון t² + (2t)² < (kt)² 1 + 4 < k² k² > 5 k > sqrt(5) :סופית sqrt(5) < k < 3 :פתרון שני t² + (kt)² < (2t)² 1 + k² < 4 k² < 3 k < sqrt(3) :סופית 1 < k < sqrt(3)​

 

[טלמון סילבר]

פתרון ב'

יהי AD חוצה הזווית BAC (הנקודה D נמצאת על צלע BC - נסה לצייר בעצמך, זה לא מסובך). צריך למצוא את האורך שלו. לפי משפט הקוסינוסים, הריבוע שלו שווה:

AD² = AC² + CD² - 2 AC CD cos(ACD)​

נשאר לנו רק למצוא את אורך CD ואת קוסינוס הזווית ACD. ממשפט חוצה-הזווית נובע היחס הבא:

AB / AC = BD / CD :ומכאן (AB / AC) + 1 = (BD / CD) + 1 (AB + AC) / AC = (BD + CD) / CD (2t + t) / t = BC / CD 3 = kt / CD CD = kt / 3​

וממשפט הקוסינוסים:

cos(ACD) = cos(ACB) = ( - AB² + AC² + BC² ) / (2 AC BC) = ( - 4t² + t² + k²t² ) / (2 * t * kt) = (k² - 3) / 2k :נשאר לנו רק להציב AD² = AC² + CD² - 2 AC CD cos(ACD) = = t² + k²t²/9 - (2kt²/3)*((k² - 3) / 2k) = = t² + k²t²/9 - t²(k² - 3)/3 = = (t²/9) * (9 + k² - 3k² + 9) = = (t²/9) * (18 - 2k²) = = (t²/9) * (18 - 14) = = 4t² / 9 AD = 2t / 3​

אם לא השתרבבה טעות.

 

[A12351]

שכחתי לגמרי

שחכתי לגמרי מפתרון שלילי חחח

 

[טלמון סילבר]

ב) וכמובן, הדרך ה"קלאסית"

לחישוב אורך חוצה-זווית. שטחי המשולשים:

S(ABC) = AB AC sin(A) / 2 S(ACD) = AC AD sin(A/2) / 2 S(ABD) = AB AD sin(A/2) / 2 S(ABC) = S(ACD) + S(ABD) AB AC sin(A) / 2 = AC AD sin(A/2) / 2 + AB AD sin(A/2) / 2 AB AC sin(A) = AC AD sin(A/2) + AB AD sin(A/2) 2 AB AC sin(A/2) cos(A/2) = AD sin(A/2) (AC + AB) 2 AB AC cos(A/2) = AD (AC + AB) AD = 2 AB AC cos(A/2) / (AC + AB) cos(A) = (AB² + AC² - BC²) / (2 AB AC) = (4t² + t² - 7t²) / (4t²) = - 1/2 cos(A/2) = + sqrt((1 + cos(A)) / 2) = + sqrt((1 - 1/2) / 2) = 1/2 AD = 2 * 2t * t * (1/2) / (t + 2t) = 2t/3​

 

[yosiabtbol]

לטלמון סילבר

תודה רבה רבה!! רק אבקש לדעת, מהי ההוכחה לכך שחייבים להתקיים במשולש 2 התנאים שכתבת על-מנת שהמשולש יהיה קה זווית? זוהי הפעם הרראשונה שאני נתקל בתנאים אלו... תודה יוסי

 

[טלמון סילבר]

אם זה לא כלול בתכנית הלימודים,

זה נובע ישירות ממשפט הקוסינוסים. כי קוסינוס של זווית קהה שלילי.

 

[טלמון סילבר]

בדוק, מתוך סקרנות,

איך משתקף משפט הקוסינוסים על זווית ישרה.