הנגזרת
הנגזרת היא קצב השינוי הרגעי. במילים אחרות, אם הנגזרת של (f(x בנקודה a שווה ל-m, אז עבור שינוי "קטן" h, הערך של (f(a+h יהיה בקירוב f(a)+mh. במקרה של הכדור, הנגזרת של הנפח (כפונקציה של הרדיוס) היא בקירוב הנפח שיתווסף לכדור אם נוסיף יחידת אורך אחת לרדיוס. אם תדמיינו זאת, תראו שנפח זה הוא נפח מעטפת כדורית שעובייה יחידת אורך אחת ושטח הפנים (הפנימי) שלה הוא כשטח פני הכדור. גודל נפח זה אכן קרוב לגודל שטח המעטפת של הכדור. ומה לגבי המעטפת? בכמה יגדל שטח המעטפת של הכדור אם נגדיל את הרדיוס ביחידה אחת? לא קל להסביר זאת באופן גיאומטרי במקרה הזה, אך התשובה היא בקירוב 8 פאי כפול רדיוס המעגל (שהרי זוהי הנגזרת). נושא זה מזכיר לי חידה עתיקה: תארו לכם שישנו חבל המקיף את כדור הארץ בצמוד לקו המשווה, בגובה הקרקע (נתעלם לרגע מהבעיתיות שבאוקינוסים). כמה חבל נצטרך להוסיף כדי שבכל נקודה החבל יהיה מורם בדיוק מטר אחד מפני הקרקע?
