עזרה. התסכול עולה על גדותיו ומאיים להתפרץ בכל הכח.

[כביש 22]

עזרה. התסכול עולה על גדותיו ומאיים להתפרץ בכל הכח.

נניח ש:
f(0) = 3

אם הנגזרת שווה לפונקציה (הניחו שבמקרה הזה, זה כך), אז כשמגדילים את המשתנה ביחידה אחת, הפונקציה משתנה "בדיוק כערכה", כלומר נוסף לה 3.
כלומר:
f(1) = 6

למה?
למה בגלל שהנגזרת שווה לפונקציה, אז כשמגדילים את המשתנה ביחידה אחת הפונקציה משתנה בדיוק כערכה (כלומר נוסף לה 3 במקרה שלנו)?

למה השורה הזו נכונה:
f(1) = f(0) + f'(0) = 3 + 3 = 6

כלומר מחשבים כאן חיבור של פונקציה ונגזרתה בנקודה 0.
הנקודה 0 היא לא הנקודה 1.
למה חיבור שלהן שווה לערך של הפונקציה ב x=1?

נ.ב.
אם מגדילים את המשתנה הלאה מקבלים את אלו:
f(2) = 12
f(3) = 24
f(4) = 48
וכן הלאה.

 

[עריסטו]

זה לא נכון

כשתלמד משוואות דיפרנציאליות, תדע שאם ערך הנגזרת בכל נקודה שווה לערך הפונקציה, אז הפונקציה היא מהצורה ce^x כאשר c הוא קבוע כלשהו. לכן, כשמגדילים את המשתנה ביחידה אחת ערך הפונקציה גדל פי e ולא פי 2 כמו שכתבת.

 

[כביש 22]

זה חלק מהכנה במתמטיקה

של אוניברסיטה מסויימת.
וזה גם די בהתחלה של ההכנה כך שאני מעריך שזה נכון רק שאיני מבין את מה שהם אומרים לצערי.

 

[aaa123]

זה עדיין לא נכון

אני מניח שהכוונה היא שנגזרת היא שיפוע כך
שאם הנגזרת שווה לפונקציה אז השיפוע של הפונקציה הוא בדיוק כמו ערך הפונקציה,ומשמעות הדבר שאם מגדילים את המשתנה ביחידה אחת קטנה ולא ב1 שהיא לא בהכרח יחידה קטנה הפונקציה גדלה במספר יחידות שערכו בקירוב ערך הפונקציה.
&nbsp
הקירוב הזה נכון יותר ככל שהיחידה קטנה יותר.
&nbsp
במקרה הזה אם f(0) = 3 אז f(0.001) = 3.003 בקירוב.
הגדלתי את המשתנה ביחידה קטנה שהיא אלפית והפונקציה בקירוב גדלה ב3 אלפיות שזה 3 יחידות.
אפשר לבדוק שהקירוב הזה אכן די מדוייק כי 3 כפול e בחזקת 0.001 יוצא במחשבון בקירוב מדוייק יותר
3.0030015005

 

[כביש 22]

כן לזה הם התכוונו.

הצלחתי לגמור את הפרק הקטן הזה בהכנה ובסופו של דבר המטרה הייתה למצוא פונקציה שהנגזרת שלה שווה לה.
אז בדרך עברנו על
2^x
עד שבסופו של דבר הם הראו לי את נוסחת "קצב השינוי" של הפונקציה בשינוי קטן במשתנה.
הם השתמשו באלפית כמו שאתה השתמשת ואז הראו איך בסופו של דבר יוצא לנו e כאשר משווים בין a^x לבין נוסחת "קצב השינוי" כאשר השינוי הוא אלפית.
זה היה יפה לראות איך הם מגיעים ל- e ככה.

 

[כביש 22]

מרחיב:

זה היה משהו כזה:
a^x = a^x * ((a^0.001 - 1) / 0.001)
הצד השמאלי זו כמובן הפונקציה.
הצד הימני זה "קצב השינוי" של הפונקציה כאשר יש שינוי של אלפית במשתנה.

מחלקים את a^x משני הצדדים:
1 = (a^0.001 - 1) / 0.001

נכפיל שני הצדדים ב- 0.001:
0.001 = a^0.001 - 1
נעביר את 1- לצד השני (גם מחליף צדדים כדי ש- a יהיה בשמאל):
a^0.001 = 0.001 + 1
נעשה חזקת 1000 לשני הצדדים ונקבל:
a = (0.001 + 1)^1000
וזה בדיוק e שזה הלהיב אותי ממש.
ואז הם הראו ע"י שימוש בחלקים גדולים יותר וקטנים יותר מאלפית (כלומר אם מציבים במקום אלפית את למשל 0.01 או 0.0001 או 0.000001 וכן הלאה שהמספר הזה "מתכנס" לעצמו בסופו של דבר ככל שהתזוזה (השינוי במשתנה) קטנה יותר ויותר (כך לפחות אני זוכר).