מישהו יודע היכן יש ציורים של עקומות

Shiberia

New member
מישהו יודע היכן יש ציורים של עקומות

למשל x^2/3+y^2/3=a^2/3 ודברים כגון אלו?
 

Shiberia

New member
אני יודע שזה לא נעים

אבל מישהו אולי יוכל להראות לי איך מחשבים אורך קו , למשל של : x^2/3+y^2/3=a^2/3 אני יודע שאפשר לעבור לקור´ קוטביות ואז לקבל x=acos^3t y=asin^3t אבל לא ברור לי איך לחשב את הקו. תודה.
 
~ ~ ~ ~ ~

ds = dy^2 + dx^2​
ds - דיפרנציאל אורך הקשת. צריך לקחת אינטגרל מתחילת עד סוף תחום המשתנה. להלהן הפונקציות שמתחת לאינטגרל למקרים של הגדרה ישירה של הפונקציה, ולהגדרתה באמצעות פרמטר:
(y´^2 + 1)dx ((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)dt​
 

Shiberia

New member
תודה but

אכן עשיתי זאת ,אך משום מה האורך יוצא שונה , האורך אמור להיות 6a.
 
ניקח את ההצבה שלך

(רק נדמה לי שאלה לא קואורדינטות קוטביות, אלא סתם הצבה פרמטרית, אבל אולי אני טועה, וזה לא חשוב).
x = a * [ cos(t) ] ^ 3 y = a * [ sin(t) ] ^ 3 dx = -3a * [ cos(t) ] ^ 2 * sin(t) dt dy = 3a * [ sin(t) ] ^ 2 * cos(t) dt​
ואם ניקח רבע "מעגל" בלבד, כלומר את t בטווח מ-0 עד п/2 בלבד (ואח"כ נכפיל את התוצאה ב-4), אז:
ds = 3a * sin(t) * cos(t) dt​
והאינטגרל הבלתי מסויים של זה שווה:
3a * [ sin(t) ] ^ 2 / 2 + C​
והאינטגרל בטווח מ-0 עד п/2 שווה ל-3a/2, וכפול 4 זה 6a. (הינחנו ש-a גדול מ-0).
 

Shiberia

New member
למה צריך להכפיל ב 4?

ולא לקחת גבול אינטגרציה מ 0 ועד 2*pi ?
 

arcsinus

New member
כי ... . .

האינטגרל מ 0 עד pi/2 נותן את אורך רבע הקוו בלבד. ולכן כדי למצוא את אורך כל הקוו, צריך להכפיל ב4 . אינטגרציה מ 0 עד 2pi היא לאורך כל הקוו, לא לרבע ממנו. (אפשר גם מ0 עד 2pi רק שזה ארוך יותר).
 
הסבר:

כשלוקחים אינטגרל מ-0 עד 2п, צריך לזכור, שהשורשים הריבועיים הם:
{ [ sin(x) ] ^ 2 } ^ 0.5 = | sin(x) | { [ cos(x) ] ^ 2 } ^ 0.5 = | cos(x) |​
ולא סתם (sin(x ו-(cos(x! זה הקטע! אם
sin(x) < 0 אז | sin(x) | = - sin(x)​
וכו´. אז כדי לא להסתבך בזה, קל יותר להסתפק באינטגרל ברבע הראשון, כשהסינוס והקוסינוס חיוביים, ובגלל הסימטריה של העקומה להכפיל את התוצאה ב-4. שים לב, שגם השתמשנו ב:
| -a | = a​
כשלקחנו שורש ריבועי (בהנחה ש-a>0).
 
ההיגיון מאחורי זה הוא,

שהדיפרנציאל של אורך העקומה תמיד חיובי. אורך העקומה הוא פונקציה עולָה.
 
למעלה