מחלקים של מספר טבעי

[עריסטו]

מחלקים של מספר טבעי

n הוא מספר טבעי. a הוא מספר המחלקים הטבעיים של n המסתיימים באחת הספרות 1, 4, 6, 9. b הוא מספר המחלקים הטבעיים של n המסתיימים באחת הספרות 2, 3, 7, 8. האם תוכלו למצוא קשר או יחס כלשהו בין a ל - b ?

 

[טלמון סילבר]

האם ב"מספר המחלקים" אתה כולל גם

את 1 ואת n ?

 

[עריסטו]

כן

 

[ייץ]

נסיון

ניתן לומר ש a גדול מ b ככל ש n גדל היחס בין a ל b קטן. כמו כן כש n שואף לאינסוף b/a=1 המחלקים של n המסתיימים ב 1 הם: 1,11,21,31,41,51 וכו המחלקים המסתיימים ב 4 הם 4,14,24,34 וכו כנ"ל לכל המספרים המסתיימים בספרות האלו.

a=1+1/4+1/6+1/9+1/11+..1/(t*10+1)+1/(t*10+4)+1/(t*10+6)+1/(t*10+9)+.. b=1/2+1/3+1/7+1/8+...​

 

[ייץ]

הבהרה

יתכן שלא הבנתי את השאלה. הפתרון שלי עונה על השאלה הבאה. בהינתן קבוצת המספרים מ 1 עד K אז מספר המחלקים המסתיימים בספרות 1,4,6,9 הנתונות של כל המספרים הוא A, ובשאר הספרות הוא B. מצאתי את היחס בין A לB. (בפרט כש K שואף לאינסוף). לכן אם בוחרים באקראי מספר N ההסתברות שמספר המחלקים עם הספרות הראשונות יהיה A והספרות האחרות B. אם לא הבנתי נכון תקנו אותי.

 

[טלמון סילבר]

תשובה חלקית.

אם למספר n יש גורם ראשוני כלשהו שונה מ-5 ושונה מ-1 ומ-9 במודולו 10, המופיע בחזקה אי-זוגית, אזי a=b. קל להוכיח זאת על בסיס הטענות הפשוטות הבאות: 1. יש מספר זוגי של אפשרויות לבניית מחלקים של n - במה שנוגע לחזקה של הגורם המדובר. 2. החזקות של גורם זה, לכשעצמן, שייכות לסירוגין ל-a ול-b. 3. אם שני מספרים שייכים ל-a, או שניהם ל-b, אזי מכפלתם שייכת ל-a, אחרת היא שייכת ל-b. אם לא קיים גורם כאמור, אז a>b, ואפשריים יחסים שונים. למשל, אם n מכיל רק גורמים טבעיים השווים ל-1 ו/או 9 במודולו 10, בחזקות כלשהן, אז כל המחלקים שייכים ל-a.

 

[טלמון סילבר]

נוח להבדיל בין שתי קבוצות

המחלקים לפי מודולו 5: את הגורם 5 אנו מוציאים מהמשחק. גורמים ראשוניים השווים ±1 במודולו 5 שייכים לכשעצמם לקבוצה a, וכך גם כל החזקות שלהם, וכך גם הכפלתם זה בזה בכל החזקות האפשריות. גורמים ראשוניים השווים ±2 במודולו 5 שייכים לכשעצמם לקבוצה b. מכפלה של שני גורמים ראשוניים כאלה, שונים או שווים, שייכת לקבוצה a. מכפלה של כל כל מחלק מקבוצת a בכל מחלק מקבוצת b שייכת לקבוצת b. אם גורם ראשוני כלשהו p מקבוצת b כלול במספר n בחזקה אי-זוגית k, ומספר כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-p ואינם מתחלקים ב-5 הוא M, אזי:

a = b = M(k+1)/2​

אני מתנצל על השימוש הכפול באותיות a ו-b, כשמות של קבוצות, וגם כמספר האברים שלהן (כמו במקור). היה אפשר לכתוב |a| לציון מספר האברים. במקרה שכל הגורמים הראשוניים מקבוצת b כלולים ב-n רק בחזקות זוגיות, אזי, מספר המחלקים של n שאינם מכילים גורמים מקבוצה a הוא מספר אי-זוגי, ואפשר להוכיח, למשל באמצעות אינדוקציה, שמהם יש באחד יותר בקבוצת a. למשל, אם במספר n אין בכלל גורמים ראשוניים מקבוצת b, אזי המספר 1 הוא המחלק האחד והיחיד של n שאינו מכיל גורמים מקבוצה a. נניח שכל הגורמים הראשוניים מקבוצה b כלולים ב-n רק בחזקות זוגיות. יהי M מספר המחלקים של n שאינם כוללים אף גורם ראשוני מקבוצת b. אזי:

|a| - |b| = M​

 

[עריסטו]

נכון

תמיד a גדול או שווה ל - b, לזה התכוונתי.