מבקש עצות: חדווא ב' או אינפי 3?

[manuel calavera]

מבקש עצות: חדווא ב' או אינפי 3?

למדתי את חדווא ב' באביב האחרון ומאוד לא נהינתי. התאכזבתי לגלות שאין בחדוא התייחסות לרעיונות ומשפטים שנלמדו באינפי 1. אין פיתוח מסודר של מושגי הגבול, הנגזרת והאינטגרל. אין הרחבות למשפטי ערך ביינים, רציפות במידה שווה. או משפטי הערך הממוצע של נגזרות. חבל, דווקא מסקרן אותי לראות איך בונים את ההרחבות של המושגים האלה, איך מדברים על "התקרבות לנקודה" בהינתן יחס סדר שונה מזה של הממשיים. האם אינפי 3 כן מרחיב בנושאים אלו? השמועה אמרה שחדווא ב' אמור להיות טכני ופשוט לאנשים שצלחו את אינפי 1. אבל אני חושש שהגישה הטכנית רק סיבכה אותי. זה היה כאב ראש לעבור בין קורדינאטות קרטזיות לפולאריות ולנחש באילו זהויות טריגונומטריות להשתמש כדי לחשב אינטגרלים. אין לי ניסיון קודם עם הכלים הטכנים האלו. הוקטורים המוכרים מאלגברה לינארית התחלפו ביצורים גאומטרים עשויים כיוון ומרחק. יצורים שתפקדו פעם כנקודות ופעם כקטע ישר סופי. ובלל זה היה מתסכל לנסות להבין תיאוריות על סמך הסברים אינטואיטיבים או איורים במקום הגדרות פורמליות חד משמעיות. האם גם אינפי 3 דורש מיומנות טכנית דומה? כי אני ממש לא מתמצא בזהויות טריגונומטריות או עבודה עם משוואות פרמטריות. נראה לי שהייתי מעדיף להוכיח גירסה תלת מימדית של משפט הסנדביץ' במקום במקום לנחש זהויות בטריגו. האם אינפי 3 יוכל להגשים את משאלתי? (כן, יש גם אינפי 2 באמצע. סבבה. אראה איך מגדירים גבולות בהינתן יחס סדר מלא ולא צפוף. )

 

[נועה לביא]

אינפי3 הוא הרחבה של אינפי1 לR^n

כאשר המרחק (מטריקה) הוא פשוט הנורמה האוקלידית של הפרש הוקטורים (כאשר בR זה אכן מה שנקרא הערך המוחלט, היות והוקטור בעל קואורדינטה אחת). אם אתה מחפש משהו יותר מופשט, אתה תאהב את "טופולוגיה קבוצתית"

הא וכן, זה שחדו"א ב' הוא קורס טכני נטול חשיבה לא הופך אותו ל"לא ג'יפה". נהפוכו.

 

[manuel calavera]

הרחבה ל- R^n זה דבר נהדר

אבל עד כמה צריך להפגין שם מיומנות בטכניקות של טריגו או המרות בין מערכות קורדינאטות? הסתכלתי קצת על המבחנים של אינפי3. ראיתי שיש שם גם חישובי אינטגרלים ורמזים להשתמש בקורדינטות פולאריות בחישוב. אני רק מקווה שחלקים הטכניים שם יותר פשוטים מבחדווא. האם, לפחות, מסבירים על מערכות הקורדינאטות בצורה פורמלית במקום להתבסס רק על סדרת איורים? ואת הטופולגיה אני חושב שאשאיר לתואר הבא. יחד עם תורת המידה ועוד קורסים כיד הדימיון. עכשיו אני מנסה לעשות תואר מדמח פרקטי. (ומה, מיליון חישובים של חדווא לא יותר פרקטיים מתאוריות של אינפי.

) תודה על התשובה.

 

[vinney]

אם אתה עושה מדמ"ח פרקטי

למה לך אינפי 3? חדוו"א ב' זה קורס טכני, אבל כל ההוכחות נמצאות שם, פשוט לא צריך לדעת אותן על בורים כמו באינפי.

 

[דפנה ר]

אינפי 3 גם הרבה יותר קשה מחדו"א ב'

 

[זכוכית מגדלת]

דפנה בלי פניקה. שלך ז.מ.

 

[דפנה ר]

ומה הקשר?

 

[manuel calavera]

אולי הוא באמת יותר קשה.

ואולי הןא מעורר קשיים אחרים מאלה של חדווא. השאלה היא עם אילו קשיים את מעדיפה להתמודד. הא, האגדה אמרה שאינפי 1 הוא הקורס המתמטי הכי קשה למדמחניקים. קשה יותר אפילו מחדווא א'. אבל זה לא מנע ממני לסיים את הקורס בציון 90 ולקבל מאיות ותשעיות בממנים. ואני בהחלט לא גאון. חבל רק שאין באינפי שום תועלת מעשית ומה שנשאר בסוף זה רק השוויץ.

 

[vinney]

אז על מה פתחת דיון?

 

[manuel calavera]

כדי להחליט עם איזה קושי להתמודד

רציתי לשאול האם אינפי 3 לא עושה שום הנחות עם הטכניקה. לכן כתבתי את כל הצומי בהודעה הראשונה. אם אינפי לא עושה הנחות כלשהן אז אני מעדיף לוותר על התיאוריות וההוכחות ופשוט לחרוק שיניים עם חדווא. ולמה אינפי3 למדמח פרקטי? נכון, הוא לא פרקטי. אבל חדווא כן?

 

[vinney]

שניהם פרקטיים

רק שחדווא שם דגש על הפרקטיקה, ואינפי שם דגש על התיאוריה. החומר באינפי1+חדווא ב' והחומר באינפי1+2+3 בגדול זה אותו חומר, אבל חדווא מאפשרת בקלות הרבה יותר גדולה לתרגם את החומר הזה לבעיות מעשיות, זאת הסיבה שחדווא זה מה שלומדים במדעי הטבע (שם רוב הבעיות המעשיות), ומדמ"ח צריך את החומר הזה כיישום פתרון הבעיות מעולם מדעי הטבע, לא לשום דבר אחר.

 

[דפנה ר]

גם חדו"א בדרך כלל לא פרקטי למדמ"ח

אבל חדו"א ב' חוסך שני קורסים את אינפי 2 ואינפי 3 ואם זה לא מעניין אותך אז באמת אין שום טעם שתעשה את אינפי 3

 

[זכוכית מגדלת]

לך על חדוה. החלק הקשה של הקורס

הוא להבין היכן יש דברים קשים.

 

[Fingertip]

אינפי 3 ממישהו שעשה

לפחות, ככה זה נראה מהתגובות שהיו פה עד עכשיו. למרות שלא עשיתי את חדו"א ב': אם הטענות שלך כלפי חדו"א ב הן רק לגבי חישובי אינטגרלים באמצעות זהויות טריגונומטריות מוזרות, אז אין לך מנוס מהן באינפי 3. לאחר שעברת את אינפי 1 ו-2 מצפים ממך להיות מסוגל לחשב פונקציות קדומות. לדעתי תרגול ממצה של הכרך האחרון של אינפי 1 מספק לך מספיק כלים. בקשר למעבר בין קורדינטות: עדיין תצטרך לעשות את זה, וינתן לך הביסוס התיאורתי למעבר, אבל בשביל שתוכל לעשות איתו משהו עדיין תצטרך לשוות לעצמך את התיאור האינטואיטיבי. אבל בהחלט יגדירו לך בדיוק מהו מעבר בין קורדינטות ויתנו את הנוסחה באופן מדוייק. בקשר לווקטורים: באינפי 3 יש פרק שלם שמדבר על וקטורים ומוציא אותם מהיצורים הנקודתיים שהוגדרו באלגברה לינארית לכיוון ומרחק. הם מגדירים גם את השקילות שבין שתי ההצגות ומאירות את הנושא באור אחר, קרוב יותר למשמעות הפיסיקלית של וקטור. הוא מבסס תיאורטית את הנושאים הנלמדים בכל הפרקים של חדו"א ב, למעט פרקים 11 (שנלמד באינפי 2), 12 (שעוד לא נתקלתי במקום שבו הוא נלמד), 19 (שנלמד בקורסים "משוואות דיפרנציאליות רגילות/חלקיות"). אין לי מושג אלו נושאים כלולים בפרק 18, ולכן איני יכול לחוות דעה עליו. על מבנה הקורס:

פרקים 1-2 מכלילים את תורת הגבולות למרחב ה-n ממדי.

בפרק 3 מכלילים את מושג הנגזרת ל-R2 בעיקר. המשפטים המנוסחים שם מנוסחים לרוב ל-Rn אבל יש הוכחות שהן רק ל-R2. מעט מאכזב למי שרגיל לדיוק המתמטי של אינפי 1-2, אבל תרגיל נחמד הוא להכליל את התוצאות לממד כלשהו.

פרקים 4-5 מציגים את מושג הוקטור כאורך וכיוון ומספקים משמעות ושיטות סימון נוחות יותר לחדו"א מרובת משתנים (ובכך מאפשרים "חשבון" נח יותר)

פרקים 7-10 וחלק מיחידה 12 מתארים כמה דרכים להכללת מושג האינטגרל. כל ההגדרות הן מדוייקות (בלשון דארבו או רימן).

פרקים 4, 11, 12 מתארים נושאים חדשים שלא הופיעו בקורסים הקודמים, לרוב בעלי הקשר פיסיקלי. הם מכילים ארבעה משפטים מרכזיים בתורת הפונקציות מרובות המשתנים שעל כל סטודנט למתמטיקה להכיר לפחות בתור השכלה כללית (ופיסיקאים בוודאי מכירים -- הם משתמשים בהם כל הזמן): משפט הפונקציה הסתומה, משפט גרין, משפט גאוס, משפט סטוקס. (פיסיקאים אולי יזהו חלק ממשפטים אלו בתור "חוקים"...) כל החומר שמופיע מבוסס תיאורטית או לפחות מבוסס על לרמה שבה אתה יכול להשלים את הפער ומפאת קוצר היריעה לא צויינו כל הפרטים של ההוכחות. אולם "אזהרה" קלה: הקורס לרוב מהווה אכזבה למי שהתרגל לאינפי 1,2. שני הקורסים האלה, אף שאינם קלים, מכילים פשטות מסויימת שאין באינפי 3. מסתבר שכאשר עוברים מקו (R) למישור (R2) והלאה (Rn) מתגלים פרטים שהוסתרו קודם לכן, ולא הכל מסתדר כל כך יפה. זה בא לידי ביטוי בהוכחות ארוכות ומסובכות, במשפטים מרובי תנאים והנחות שמסובך לבדוק, ומספר הכללות שונות לאותו הרעיון. אולם הבנתי שיש דרכים טובות יותר לתאר את הנושאים המדוברים בקורס זה ש"מסתירות" חלק מהפרטים הרבים שכלולים בו. דרכים אלו לא מתוארות בקורס... בכל מקרה, אם אתה מחפש עומק תיאורטי בנושאים של חדו"א ב', אני ממליץ לך על אינפי 3, אולם קח בחשבון שעדיין מצפים ממך להיות מסוגל לבצע את כל החישובים של חדו"א ב' (בין אם בקורס ובין אם לאחריו). על מנת לשפוך אור אחר על הנושא של אנליזה במישור, אני ממליץ לך לקחת לאחר מכן את הקורס "פונקציות מרוכבות". חלק נכבד ממנו מדבר על אותם הנושאים, אך מנקודת מבט שונה. והערה קטנה לסיום: אין גרסה תלת ממדית של משפט הסנדוויץ'. בא נזכר במשפט: אם f < g < h ו-f,g שואפות ל-L בנקודה a אזי g שואפת ל-L בנקודה a. במרחב אין לך את הסדר > ולכן אין משמעות למשפט הזה כמו שהוא. ננסה לבצע טרנספורמציה קלה בשוויון:

f < g < h <=> 0 < g - f < h - f => |g - f| < |h - f|​

כך קיבלנו כלל "סנדויץ'" שונה קמעה, וכללי טיפה יותר:

אם |g - f| < |h - f| ו-h,f שואפות ל-L ב-a אזי הגבול של g ב-a הוא L. מסתבר שמושג הערך המוחלט מופיע גם במישור ובמרחב ולכן אפשר לדבר עליו גם באינפי 3 ולנסות להוכיח אותו.... מקווה שעזרתי, אהד.​

 

[manuel calavera]

המון תודה על התגובה המושקעת. ../images/Emo13.gif

אז אין מנוס מלשלוט בטכניקה, אתה אומר? אם כך אולי עדיף לי לשפר את הטכניקה עכשיו עם חדווא ולשמור את אינפי, מרוכבות ושאר ההרפתקאות להזדמנות אחרת. וחשבתי שהוקטורים הוצאו מההקשר של הלינארית כי ככה זה יהיה נח יותר לבוגרי חדווא א'. או משהו. חידשת לי. באמת עזרת. תודה רבה!

 

[yonyl]

פרקטיות

הרבה אנשים אמרו שאינפי לא פרקטי ושזה סתם , אז אני אישית עובד בתחום ויצא לי לא מעט פעמים שהאינטואיציה שלמדתי באינפי וקצת חישובי גבולות בהחלט עזרו לי במעשה. אז נכון שזה לא תמיד אבל בהחלט ייתכנו מקרים שהמתימטיקה והדברים התיאורטיים שלמדנו נהיפכים למעשה

 

[vinney]

אתה מדבר על אינפי1

בגלל זה הוא חובה. הדיון הזה הוא על אינפי 3 אל מול חדווא ב'

 

[זכוכית מגדלת]

יש לי רק הערה אחת אצבעות

יש כלל הכריך באינפי 3. פשוט נותנים ביס וזה טעים משהו משהו. (לפונקציות מ- R^n ל- R הסנדוויץ זהה). פרט לזאת באמת תגובה מושקעת ויפה כראוי לקצין, ויפה שעה אחת קודם. שלך הזכוכית. סיסמת הזכוכית - אני לא שבירה.

 

[נועה לביא]

ולחשוב שכבר חששתי שלא נתראה עוד...

 

[זכוכית מגדלת]

כעת יהיה לך יותר מעניין ובעיקר מותח