כמה תכונות באלגברה- האם הן נכונות?

Eddy652

New member
כמה תכונות באלגברה- האם הן נכונות?

1. אם וקטור v מאונך לוקטור u (השדה הוא R או C), אז וקטור v מאונך גם לצמוד של וקטור u.

2. יודעים שאם A מטריצה אוניטרית, אז zz |det(A)|=1 zz. יודעים גם כי אם A מטריצה אורתוגונלית, אז zz det(A)={-1,1} zz.
אז אם אני מבין נכון, בין אם A אוניטרית ובין אם A אורתוגונלית, האפשרויות לדטרמיננטה הן 1 או מינוס 1?

3. אופרטורים מתחלפים בכפל אם ורק אם המטריצות המייצגות שלהן לפי הבסיס הסטנדרטי מתחלפות בכפל.

4. להכפיל וקטור v במטריצה המייצגת של האופרטור T לפי הבסיס הסטנדרטי משמאל ייתן בדיוק את אותה התוצאה כמו לבצע zz T(v) zz.
 

1ca1

New member
תשובות

1. אם מדובר על R, אין משמעות של צמוד.
אם מדובר על C, אז לא נכון, תבחר u=(1,i) ו-v=(1,-i) (כלומר v הוא הצמוד של u).
אז אני מזכיר לך שהמכפלה הפנימית ב-C^2 של וקטור x ו-y היא x כפול yצמוד.
אז כאן
zz <u,v>=(1,i)*(1,i)=1-1=0 zz
כלומר הם מאונכים.
מצד שני
zz <u,conj(v)>=<(1,i),(1,i)>=(1,i)*(1,-i)=2 zz
ולכן הם לא מאונכים.
&nbsp
2. לא, המטריצה A=iI היא אוניטרית, הדטרמיננטה שלה שווה ל- zz i^n zz.
אוניטרית + ממשית = אורתוגונאלית, ואז למטריצה ממשית יש דטרמיננטה ממשית (כי זה מכפלה וסכום של ממשיים), ואז משהו ממשי שהערך המוחלט שלו הוא 1 יכול להיות רק +-1.
&nbsp
3. כן.
4. כופלים בוקטור מימין, כלומר Av, כאשר A המטריצה ו-v הוקטור (בצורת עמודה).
 

Eddy652

New member
תודה על התשובות, רק דבר אחד קטן שעדיין לא ברור לי

בנוגע ל1:
אני סוג של הסקתי את הטענה הזאת (שגם לי נראתה שגויה), מהוכחה שלמדתי שמטריצה ריבועית מסדר n אוניטרית אם ורק אם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לF^n.
כשהוכיחו לנו את הכיוון ההפוך (שורות מהוות בסיס א"נ גורר מטריצה אוניטרית), הראו לנו שכשמכפילים את A בצמודה שלה, מקבלים על האלכסון 1 (את זה אני מבין, מכפילים וקטור בעצמו ומקבלים את האורך שלו בריבוע- שזה יוצא 1 כי שייך לבסיס א"נ), אבל גם קיבלנו שיש 0 מחוץ לאלכסון.
חשבתי שההסבר לזה שיש 0 מחוץ לאלכסון נובע מהטענה שרשמתי (מבצעים מכפלה פנימית של וקטור v בבסיס א"נ עם צמוד של וקטור u אחר ששייך לבסיס א"נ). איך בעצם אפשר לראות את זה אחרת?
נתתי דוגמה בצילום למשהו עם מספר נמוך. למה בעצם אני מקבל 0 מחוץ לאלכסון שם?

 

1ca1

New member
לאט לאט

במרחב אוניטרי, ההגדרה של מכפלה פנימית סטנדרטית של וקטורים u,v היא u כפול הצמוד של v, מכאן מגיע הצמוד ולא משום מקום אחר.
&nbsp
עכשיו, אם יש לך וקטורים vi שהם בסיס אורתונורמלי, אז vi,vj (שזה לפי הגדרה vi כפול הצמוד של vj) יוצא אפס.
עכשיו תיקח מטריצה A, ותחשב את zz AA* zz, אז יוצא לך שבמקום ה-i,j יש לך את vi כפול הצמוד של vj, זה מההגדרה של המכפלה של המטריצות ולכן אם נשווה את זה להגדרה של מכפלה פנימית, נקבל שבמקום ה-i,j יש את המכפלה הפנימית של vi עם vj (בלי צמודים).
וזהו, זה דלתא i,j כי זה בסיס אורתונורמלי.
 

Eddy652

New member
תודה, עכשיו הבנתי את זה

שכחתי שבמרוכבים המכפלה הפנימית הסטנדרטית מוגדרת עם הצמוד. תודה!
 
למעלה