חילוק ריבוע למלבנים

עריסטו

Active member
חילוק ריבוע למלבנים

האם אפשר לחלק ריבוע שממדיו 22 ס"מ על 22 ס"מ ל - 121 מלבנים שממדיהם 1 ס"מ על 4 ס"מ?
 
איך קוראים לזה?

קואדרומינו?
 

1אברהם

New member
אולי ../images/Emo13.gif

הנה ציור שעליו מבוססת ההוכחה שלי. המשבצות של הלוח 22x22 ניצבעו ב 4 צבעים שונים כך שכל אבן "קואדרומינו" ( 1x4 ) תמיד מכסה 4 צבעים שונים.
 

1אברהם

New member
הסבר

כדי להוכיח שלא יתן למלא את הלוח במלבני 1x4 צריך להראות שיש מספר שונה של משבצות מכל צבע. אפשר לספור ישירות או לחשב ( האלכסונים מהווים טור חשבוני עולה ויורד עם הפרש 4 ). אבל מספיק להראות שכמות אחד הצבעים שונה מ 121 , ואכן האלכסונים הירוקים (וגם הצהובים) מכילים רק מספר זוגי של משבצות ולכן סכומם זוגי ולא יכול להיות שווה ל 121 . וזה נכון לכל לוח ריבועי שאורכו זוגי אבל לא מתחלק ב 4
 
קל לספור בדרך הבאה

מכל שורה נעיף את 20 המשבצות האחרונות (כי שם כל הכמויות שוות). נשארו שתי העמודות הראשונות. בכל אחת מהן נעיף את 20 המשבצות האחרונות, כי גם שם כל הכמויות שוות. נשארה הפינה השמאלית העליונה 2x2, ואנו רואים שהכמויות שונות. כך גם עושים בתלת-מימדי.
 

1אברהם

New member
נכון

כנראה שהדרך שלך ( להסתכל רק על הריבוע\קוביה בפינה שאורכה 2 )היא הכי קצרה כדי להראות שהכמויות לא שוות
 

Tesseract

New member
נראה לי

נראה לי שלא.. אפשר לחלק את הריבוע רק ל-120 מלבנים ועוד ריבוע שמימדיו 2 ס"מ על 2 ס"מ..
 

strawberrys

New member
נראה לי שכן..

22X22 חלקי 4 שווה 121. אבל בעצם בטח יש פה משהו מטעה...
 

yoyogam23

New member
זה פשוט

22 כפול 22 הם 484 ס"מ רבוע. כל מלבן כזה הוא 4 ס"מ רבוע. 484 לחלק ל4 שווה בדיוק 121, ומכאן שניתן לחלק.
 

yoyogam23

New member
הבנתי את המילכוד

לא ניתן משום ש22 לא מתחלק ב4, ולכן לא תוכל ליצור ריבועים קטנים בגודל המתאים.
 

slallum

New member
אני דווקא לא הבנתי

4 ס"מ רבוע זה 2 על 2 לא? ו-22 מתחלק ב-2..
 
קרא בתשומת לב את השאלה -

דובר בפירוש על חלוקת הריבוע הגדול למלבנים 4 על 1, ולא סתם לחתיכות בשטח 4 סמ"ר. נסה להבין את הפתרון (את ההוכחה שאי-אפשר) מהתמונה שהכין אברהם.
 
../images/Emo62.gif פתרון חידה קודמת

נתון משולש שווה-צלעות ובתוכו נקודה שמרחקיה מהקודקודים 3,4,5. צריך למצוא את אורך צלע המשולש. יהי ABC המשולש שווה-הצלעות, ובתוכו הנקודה O OA| = 5| OB| = 4| OC| = 3| נבנה משולש שווה צלעות OBD, כאשר הצלע OD חוצה את AB. OB| = |OD| = |BD| = 4| הזוויות DBA=OBC כי שתיהן משלימות את הזווית ABO ל-60°. המשולשים DBA ו-OBC חופפים לפי צלע-זווית-צלע. לכן גם: AD| = |CO| = 3| והזווית ADO=90° ושוות הזוויות:
COB = ADB = ADO + ODB = 90° + 60° = 150° |CB|² = |CO|² + |OB|² - 2*|CO
OB|*cos150° = = 9 + 16 + 2*3*4*cos30° = = 25 + 12sqrt(3) |CB| = sqrt( 25 + 12sqrt(3) )​
 

lupoN

New member
../images/Emo45.gifפתרון יפה../images/Emo51.gif

והנה שרטוט, בערך
הערה קטנטונת: לדעתי, יותר מתאים לומר ש - OD עוברת דרך AB, או חותכת את AB, במקום "חוצה", אותי זה טיפה הטעה... באמת פתרון יפה. 3, 4, 5...
 
למעלה