חידה מתמטית אלגנטית...

[Ferma]

חידה מתמטית אלגנטית...

אז היא לא קשה כמו החידה של עריסטו אבל היא נחמדה

תהנו! הוכח שעבור כל n>2 טבעי:

n^(n+1)>(n+1)^n​

 

[slallum]

יש מצב להכוונה קטנה? ../images/Emo13.gif

 

[Ferma]

../images/Emo58.gifיש מצב...

השתמשו רק באמצעים אלמנטריים, ללא קלקולוס למשל

רמז יותר רציני שלחתי במסר

 

[בסג]

../images/Emo13.gif

אח שלי הוכיח לי את זה בשלשה חלקים (כלומר - הוא חילק את זה ל3 מקרים) כשהייתי קטן מדי (כיתה ה/ו), אז לא הבנתי כלום. לפני כמה שנים ניסיתי להוכיח את העניין - וכשלתי.

אולי פה תהיה הוכחה יותר אלגנטית.

 

[טלמון סילבר]

במה מותר להשתמש?

יש מספר דרכים די פשוטות להוכחת הדבר. הפשוטה ביותר היא חקירת הפונקציה ln(x)/x בעזרת הנגזרת, המגלה שיש לה מקסימום יחיד כאשר x=e, ולכן, אם e < a < b אזי a^b > b^a דרך נוספת היא הצגת אי-השוויון כך:

n > (1 + 1/n)^n​

פריסת האגף הימני באמצעות בינום ניוטון, החלפת כל אבר באבר גדול יותר - 1 חלקי 2 בחזקה שלמה. מתקבלת סדרה הנדסית עם מנה 1/2, ומתקבלת העובדה המוכרת, שאגף ימין בכלל קטן מ-3, ולכן גם מכל מספר שלם אחר הגדול מ-2. האם התכוונת למשהו עוד יותר פשוט?

 

[Ferma]

הממ...

השיטה הראשונה לא "אלמנטרית" היא משתמש בקלקולוס... השיטה השנייה מאוד נחמדה

חשבתי על חומר שמלמדים ב-5 יחידות... הרי זה תרגיל ממבחן באינפי 1, ואין שום בעיה להוכיח את זה באמצעים של אינפי, השאלה - תוכל לפתור את זה באמצעים של תיכון?

 

[טלמון סילבר]

שתי שאלות -

1. האם בינום ניוטון אינו כלול בחומר של תיכון? 2. מה זה "קלקולוס", ובאיזו שפה?

 

[בסג]

לגבי 2...

מתוך ויקיפדיה: החשבון האינפיניטסימלי (בקיצור אינפי, נקרא גם חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - חדו"א, ובאנגלית Calculus) הוא ענף של המתמטיקה שהתפתח מהאלגברה ומהגאומטריה ועוסק בהשתנותן של פונקציות. ובאנגלית:

Calculus is a central branch of mathematics, developed from algebra and geometry. It is built on two major complementary ideas, both of which rely critically on the concept of limits. The first is differential calculus, which is concerned with the instantaneous rate of change of quantities with respect to other quantities, or more precisely, the local behavior of functions. This can be illustrated by the slope of a function's graph. The second is integral calculus, which studies the accumulation of quantities, such as areas under a curve, linear distance traveled, or volume displaced. These two processes act inversely to each other, a fact delivered conclusively by the fundamental theorem of calculus.​

 

[טלמון סילבר]

תודה. כלומר, זה פחות או יותר השם

האנגלי לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - אנליזה מתמטית? חשבתי שזה נובע מהשורש הלטיני "לחַשֵב".

 

[Ferma]

לצערי לא...

מאוד התפלאתי ששמעתי כשהורידו את כל נושא הקומבינטוריקה (וגם הבינום של ניוטון בתוכו) מתוכנית הלימודים. לגבי אנליזה, כבר ענו לך

 

[whassupeople]

ניתן להוכיח באינפי...

רק לגבי n>3 מכיוון אם נעשה שיוון בין גבולות נקבל בצד הימני את הגבול הידוע של אויילר E ובצד אחר גבול של n שגבולו שווה למספר עצמו אשר חייב להיות גדול מ3. השיוון מופיע אצל אחד הפותרים פה קשה להקליד את זה

 

[whassupeople]

n > (1 + 1/n)^n ימני זה אויילר

אויילר שווה ל2.7 ולכן nחייב להתחיל מ3 n>3 תגדלו תיכוניסטים

 

[whassupeople]

כלומר n>2 בעצם..הוכחתי!!!

 

[whassupeople]

עזבו אותכם אינדוקצייה רבותיי

סדרות וכאלו תפתחו ספר באינפי ותוך שנייות...... יאללה תביאו עוד חידות!!!!!!!!!!!!

 

[טלמון סילבר]

חידה באינפי במיוחד בשבילך, אישית!

מהו המקסימום של הביטוי x^y, כאשר x ו-y הם מספרים שונים גדולים מ-1, המקיימים את השוויון הבא: x^y = y^x

 

[טלמון סילבר]

גם מעניין מאוד למצוא את המינימום של

אותו הביטוי

 

[whassupeople]

אם תוכל..

תנסח בבקשה את שאלתך באופן אחר... אני לא מבינה מזה " מהו מקסימום של ביטוי"

 

[whassupeople]

יש קשר לנק' קיצון???

 

[טלמון סילבר]

נניח שמצאנו זוג

מספרים שונים ששניהם גדולים מ-1, x ו-y, המקיימים את השוויון: x^y = y^x למשל 2 ו-4: 2^4 = 4^2 = 16 בדוגמה הזאת, הביטוי x^y עבור זוג המספרים הזה, שווה 16. נניח שמצאנו זוג אחר של מספרים שונים המקיימים את השוויון. עבור הזוג החדש, לביטוי x^y יהיה ערך אחר כלשהו (בנוגע ל"אחר" - את זה לא הוכחנו). וכן הלאה. עבור כל זוג אפשרי המקיים את השוויון, לביטוי x^y יהיה ערך מסוים. שאלה: מהו הערך המקסימלי של הערכים האפשריים של x^y, עבור כל הזוגות האפשריים, המקיימים את השוויון? שאלה נוספת: ומהו הערך המינימלי?

 

[whassupeople]

סבבה תן לי לישון על זה ואל תגלו!